Estadística y combinatoria al alcance de todos

Unos ejercicios para poder comprender mejor lo explicado en la entrada anterior. Ejercicio 1 Una fábrica de zapatos produce el 5% de los zapatos con algún defecto. Un lote de zapatos es rechazado si, tomando una muestra de 10 zapatos, se encuentra alguno defectuoso. Tenemos que calcular la probabilidad de que se produzca un rechazo. En cada zapato, se consideran los sucesos: A = {ser defectuoso}, con probabilidad p = 5/100 = 0,05 A' = {no ser defectuoso}, con probabilidad q = 1 - p = 0,95 Para saber si hay que rechazar o no el lote, se repite el experimento de comprobar para cada zapato, con una muestra de 10 zapatos, n = 10, siendo las pruebas independientes entre sí. Se trata, por tanto, de una distribución binomial , de parámetros n = 10, y p = 0,05. El lote es rechazado si se encuentra algún zapato defectuoso, es decir, si la variable X = Número de zapatos defectuosos en una muestra de 10 zapatos es distinta de 0. De los posibles valores de la variable

La distribución binomial se aplica a variables aleatorias discretas , cuando se estudian situaciones en las que se repiten pruebas de un experimento aleatorio, independientes entre sí, con la intención de determinar la probabilidad de la ocurrencia de un determinado suceso o de su contrario. Ejemplo de distribución binomial El cálculo de la probabilidad de que al tirar un dado cinco veces, salgan exactamente unos, se ajusta a este tipo de distribución. Se trata de repetir cinco veces un experimento, siendo las pruebas independientes entre sí, y observar la presencia o ausencia de la puntuación uno. Llamando A al suceso consistente en que al tirar un dado al aire, la puntuación obtenida sea un 1, y A' al suceso contrario de A, es decir, que al tirar un dado al aire la puntuación obtenida no sea 1, las probabilidades de A y A' son: A = {1}; p(A) = 1/6 A' = {2, 3, 4, 5, 6}; p(A') = 5/6 El suceso pedido consiste en que al realizar 5 veces el experimento, oc

Algunos ejercicios para poner en práctica lo explicado en la entrada anterior. Ejercicio 1 Dada la siguiente función de distribución de una variable aleatoria continua: 0, si x < 3 (x - 3)/3, si 3 ≤ x ≤ 6 1, si x > 6 Calcular la función de densidad. La función de densidad es: F'(x) = f(x). Por lo tanto: 0, si x < 3 1/3, si 3 ≤ x ≤ 6 0, si x > 6 Ejercicio 2 Tenemos que calcular la media de una variable aleatoria continua, cuya función de densidad es: x/4 si 1  ≤ x ≤ 3 0 en el resto μ  = E[X] = ∫ 3 1 x·f(x)dx = ∫ 3 1 (x 2 /4)dx =[x 3 /12] 3 1 = 27/12 - 1/12 = 13/6. Ya que si x ∉ [1, 3], f(x) = 0, y por tanto, ∫x·f(x)dx = ∫x·0dx = 0 Bueno, creo que ya podemos adentrarnos a estudiar la distribución binomial. Si tenéis alguna duda, o necesitáis repasar integrales y derivadas, tengo otro blog (en wordpress) que trata sobre las matemáticas. Si queréis, podéis visitarlo: eluniversomatematicoblog

Cuando la variable aleatoria es continua, ésta puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de la recta real. Al haber infinitos posibles valores de la variable, si cada uno de ellos tiene una probabilidad mayor que cero, la suma de todas ellas sería mayor que 1. Por lo tanto, la probabilidad de un valor concreto para una variable aleatoria continua es cero: P(X = x i ) = 0. Por ejemplo, si los pesos de los alumnos de un clase están comprendidos entre 45 y 60 kilos, la probabilidad de que un alumno pese exactamente 46,5 kg es prácticamente nula y lo mismo ocurre con la probabilidad de que pese cualquier otro valor entre 45 y 60. Al decir que el alumno pesa 55,5 kg, no hay que entender que su peso exacto es 55,5 kg, sino que está dentro de un intervalo que contiene a 55,5. Cuanto menor sea el intervalo, con más exactitud se dará su peso. Por lo tanto, las probabilidades puntuales en las variables aleatorias continuas no tienen sentido, por ser todas nulas, y por ell

Unos cuantos ejercicios, como de costumbre, para poner en práctica lo aprendido en la entrada anterior . Ejercicio 1 Dos jugadores A y B tiran un dado al aire. Si sale 2, 4 o 6, el jugador A ganará 20, 40 o 60 euros, respectivamente. Si sale 1, 3 o 5, el jugador A pagará 10, 30 o 50 euros. Tenemos que calcular el valor esperado del juego. X: E → R      1 → -10      2 → +20      3 → -30      4 → +40      5 → -50      6 → +60 E[X] = f(1)·(-10) + f(2)·(+20) + f(3)·(-30) + f(4)·(40) + f(5)·(-50) + f(6)·(60) = (1/6)·(-10) + (1/6)·20 + (1/6)·(-30) + (1/6)·(40) + (1/6)·(-50) + (1/6)·(60) = (1/6)·(-10 + 20 -30 + 40 -50 + 60) = (1/6)·(30) = 5 El juego es por tanto favorable al jugador A. Si el juego se realiza un número indefinido de veces, el valor esperado es que el jugador A gane 5 euros. Ejercicio 2 Dada la variable aleatoria X:E → R , cuyos valores son 2, 4, 6, 8 y 10 con probabilidades p(X = 2) = 2/10 p(X = 4) = 3/10 p(X = 6) = 3/10 p(

El conjunto de valores que toma una variable aleatoria discreta, X(E) = {x 1 , x 2 , ..., x n }, puede convertirse en un espacio de probabilidad sin más que definir la probabilidad de x i como P(X=x i ). Es decir, la probabilidad de que la variable tome el valor x i o la probabilidad de que se verifique el suceso representado por xi. La probabilidad así definida cumple las propiedades: P(X=x i ) ≥ 0 ΣP(X=x i ) = 1 Notación de la probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta En general, se designa por P(X = a )  la probabilidad de los sucesos a los cuales la variable aleatoria X asigna el valor a .  P(X = a ) = P[X -1 ( a )] = P[x ∈ / X(x) = a ] Se designa por P(X ≤ a ) a la probabilidad de los sucesos a los cuales la variable aleatoria X asigna valores menores o iguales que a . P(X ≤ a ) = P[{x  ∈ E  / X(x)  ≤ a }] Se designa por P( a   ≤ X   ≤ b) la probabilidad de los sucesos a los cuales la variable aleatoria X asigna valores comprendidos

Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas . Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar unos ciertos valores y no toma ningún valor intermedio entre dos consecutivos. Así, las variables aleatorias de los ejemplos A, B y C explicados en la entrada anterior son continuas. Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar todos los valores de un cierto intervalo de la recta real. Por ejemplo, podemos considerar el experimento correspondiente a obtener el peso de los alumnos de una clase. Observa el paralelismo existente entre variable aleatoria discreta y continua y variable estadística discreta y continua.

Espacio muestral El espacio muestral E asociado a un fenómeno aleatorio, ya definido y explicado en este tema , es el conjunto de todos sus posibles resultados, numéricos o no. Así, por ejemplo, en el experimento aleatorio consistente en tirar un dado al aire, el conjunto de sus posibles resultados o espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sin embargo, en el experimento aleatorio consistente en tirar tres monedas al aire, el espacio muestral estará formado por E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCX, XXC, XXX}, donde C representa obtener cara y X obtener cruz. Estos resultados no se expresan con números. Concepto de variable aleatoria Una variable aleatoria es una función definida del espacio muestral E en el conjunto R de los números reales, y asocia a cada elemento del espacio muestral un número real. Las variables aleatorias se suelen designar con letras mayúsculas y sus imágenes con minúsculas. En general, dado el espacio muestral E = {x 1 , x 2 , ..., x n la

En estadística descriptiva se tratan las características de un colectivo conocido mediante el estudio de una muestra determinada. Cada una de esas características se llama variable estadística. Cuando la muestra crece indefinidamente, de forma que el tamaño de la población puede considerarse infinito, las frecuencias relativas se transforman en probabilidades y en lugar de hablar variable estadística, se habla de variable aleatoria ; la media aritmética se transforma en esperanza matemática y el polígono de frecuencias pasa a ser la función de densidad o curva de probabilidad. Al igual que en las variables estadísticas, las variables aleatorias se clasifican en variables discretas y continuas. Una distribución importante de las variables aleatorias discretas es la distribución binomial o de Bernoulli ; y de las variables aleatorias continuas, la distribución normal , cuya representación gráfica recibe el nombre de campana de Gauss, en recuerdo del descubridor de la ecuación

Para estudiar la probabilidad de una intersección de sucesos (también llamada probabilidad compuesta) se distinguirán dos casos: Los sucesos son independientes Si dos sucesos A y B son independientes, la probabilidad del suceso intersección es: p(AᴖB) = p(A)·p(B) Este resultado se puede generalizar para varios sucesos, siempre que sean independientes: p(AᴖBᴖC) = p(A)·p(B)·p(C) Los sucesos son dependientes Si dos sucesos A y B son dependientes, la probabilidad de la intersección es p(AᴖB) = p(A)·p(B/A) Este resultado se puede generalizar a tres sucesos (o más): p(AᴖBᴖC) = p(A ᴖB)·p(C/ A ᴖB) = p(A)·p(B/A)·p(C/ A ᴖB) siendo A, B y C sucesos dependientes. Ejemplo 1 La probabilidad de que un alumno apruebe matemáticas es 6/10, y de que apruebe lenguaje es 8/10. Calcular la probabilidad de que un alumno: Apruebe ambas asignaturas. Suspenda ambas asignaturas. Apruebe al menos una de las dos Apruebe matemáticas y suspenda lenguaje. Sean los sucesos: M = {aprobar matemáticas} M&

Unos cuantos ejercicios para entender mejor lo explicado en la entrada anterior. Ejercicio 1 Un alumno estudió 8 de los 12 temas de que constaba un examen. Tenemos que calcular la probabilidad de que, elegidos dos temas al azar, conteste correctamente a ambos. El espacio muestral está formado por los 12 temas. Sea el suceso A = {responder bien al primer tema}; p(A) = 8/12 Sea el suceso B = {responder bien al segundo tema} La probabilidad pedida es p(AᴖB), probabilidad de que el alumno responda bien al primer tema y al segundo tema. Para calcular p(AᴖB) hay que conocer p(B/A), probabilidad de que habiéndose sabido el primer tema, se sepa también el segundo. De los 12 temas iniciales, se ha sacado uno que el alumno sabía, luego quedan 11 temas de los que el alumno sabe 7. Por tanto, p(B/A) = 7/11. Así, la probabilidad pedida es: p(AᴖB) = p(A)·p(B/A) = (8/12)·(7/11) = 56/132 = 0,42 Ejercicio 2 Se sacan dos cartas al azar de una baraja de 40. Tenemos que

Para estudiar la probabilidad condicionada, vamos a partir del siguiente ejemplo (dicen que no hay mejor maestro que Don Ejemplo): En una clase de 35 alumnos se hace un recuento de los que han estudiado a diario y de los que aprobaron todas las asignaturas en junio, siendo los resultados los de la tabla adjunta: A:Estudian a  diario A’:No estudian  a diario Total B: Aprobaron todo  en junio 9 5 14 B’:No aprobaron todo  en junio 3 18 21 Total 12 23 35 Se consideran los siguientes sucesos: A = {estudiar a diario}, cuya frecuencia relativa es h(A) = 12/35. B = {aprobar todo en junio}, cuya frecuencia relativa es h(B) = 14/35. AᴖB = {estudiar a diario y aprobar todo en junio}, cuya frecuencia relativa es h(AᴖB) = 9/35. Se define el suceso B/A y se lee suceso B condicionado al suceso A al suceso consistente en que se verifique B siempre que se verifique A (en nuestro

Para estudiar el cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos, también llamada probabilidad total, es conveniente distinguir dos casos: Sucesos incompatibles Si A y B son dos sucesos incompatibles, la probabilidad del suceso unión es: p(AᴗB) = p(A) + p(B) Esta propiedad se puede generalizar para el caso de dos o más sucesos: p(AᴗBᴗC) = p(A) + p(B) + p(C) siendo A, B, C sucesos incompatibles dos a dos. Sucesos compatibles Si A y B son dos sucesos compatibles, la probabilidad del suceso unión es: p(AᴗB) = p(A) + p(B) - p(AᴖB) Esto es debido a que, siendo los sucesos compatibles, el número de elementos del suceso AᴗB es: n AᴗB = n A + n B - n AᴖB Dividiendo entre N, se obtiene el resultado antes descrito. Esta expresión puede generalizarse para el caso de más de dos sucesos: p(AᴗBᴗC) = p(A) + p(B) + p(C) - p(AᴖB) - p(AᴖC) + p(AᴖBᴖC) Ejemplos Ejemplo 1 Tenemos que calcular la probabilidad de que al sacar una carta de una bara

La definición de probabilidad dada por Laplace en 1654, como el cociente que resulta de dividir los casos favorables a un suceso entre los casos posibles, se restringe a situaciones en las que todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir. La probabilidad también se puede definir así: partiendo de un espacio muestral finito E = {a 1 , a 2 , ...., a N } de N elementos, se define la probabilidad asignando a cada elemento a i un número real p i , llamado probabilidad de a i , con las siguientes condiciones: p i ≥ 0 Σp i = 1. Es decir, p 1 + p 2 + p 3 + ... + p N = 1 La probabilidad así definida cumple todas las propiedades de la probabilidad mencionadas anteriormente . Para calcular la probabilidad de un suceso A se suman las probabilidades de todos sus elementos. Si A = {a 1 , a 2 , ..., a n }, entonces p(A) = p 1 + p 2 + ... + p n . La terna formada por el espacio muestral E, el conjunto de todos los sucesos S y la probabilidad P así definida, r

La probabilidad del suceso imposible es 0: p(Ø) = 0 La probabilidad del suceso seguro es 1: p(E) = 1. La probabilidad de cualquier otro suceso está comprendida entre 0 y 1. Si A y B son dos sucesos incompatibles, la probabilidad del suceso unión es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. La probabilidad de un suceso más la de su contrario es igual a 1. Ejemplos Ejemplo 1 En una urna hay 4 bolas rojas, 6 bolas verdes y 5 bolas azules. Tenemos que calcular la probabilidad de que al sacar una bola, esta sea roja o verde. El espacio muestral está formado por todas las bolas: N = 6 + 4 + 5 = 15 Sea el suceso A = {extraer bola roja}; n a = 4; p(A) = 4/15 Sea el suceso B = {extraer bola verde}; n b = 6; p(B) = 6/15 Sea el suceso C = {extraer bola azul}; n c = 5; p(C) = 5/15 El suceso extraer bola roja o verde es el suceso AᴗB. Por tanto, la probabilidad pedida es p(AᴗB). Como los sucesos A y B son incompatibles, puesto que una bola no puede ser roj

La definición clásica de probabilidad dada por Laplace en 1654, supone que todos los sucesos elementales de un experimento tienen la misma probabilidad de ocurrir (hipótesis de equiprobabilidad), y se expresa en los siguientes términos: La probabilidad de un suceso A es igual al cociente entre el número de casos favorables al suceso A y el número de casos posibles. El número de casos favorables al suceso A es el número de elementos que tiene dicho suceso. El número de espacios posibles es el número de elementos del espacio muestral. Por lo tanto, si el espacio muestral tiene N elementos y un determinado suceso A tiene n elementos, la probabilidad de que ocurra A , representada por p( A ), es: p( A ) = n / N = casos favorables/casos posibles Ejemplos de cálculo de probabilidades Ejemplo 1 Tenemos que calcular la probabilidad de que al tirar tres monedas al aire, el resultado sea: Todas caras. Dos caras y una cruz. Al menos una cara. Ninguna cara.

El resultado de un determinado experimento aleatorio no se puede predecir, pero si se repite un número elevado de veces, se observan ciertas regularidades. Por ejemplo, al tirar una moneda al aire no se puede predecir si saldrá cara o cruz, pero sería extraño que tras tirar la moneda 200 veces, se obtuvieran 2 caras y 198 cruces. Es de esperar, que, aproximadamente, la mitad de las veces salga cruz y la otra mitad cara. Es decir, la frecuencia relativa del suceso obtener cara se aproximará a 1/2, y lo mismo ocurrirá con la frecuencia del suceso obtener cruz. Esta aproximación será mayor a medida que el número de veces que se repite el experimento aumente. Ejemplo Habiendo obtenido 100, 300, 500 y 1000 lanzamientos de una moneda, el número de caras obtenidas ha sido el siguiente: N.º de lanzamientos N.º de caras frec. Relativa 100 56 0,56 300 146 0,49 500 240 0,48 1000 510 0,51

Frecuencia absoluta de un suceso A es el número de veces que se realiza el suceso en un total de N repeticiones. Se representa por f(A). Frecuencia relativa de un suceso A es el cociente que resulta al dividir su frecuencia absoluta entre el total de N repeticiones. Se representa por h(A). Ejemplos Si al tirar un dado al aire 100 veces, se ha obtenido 22 veces el 5, la frecuencia absoluta del 5 es f(5) = 22 y su frecuencia relativa es h(5) = f(5)/N = 22/100 = 0,22 __________________________________________________ Tras tirar un dado 100 veces, se han obtenido los siguientes resultados: 16 veces el 1, 17 veces el 2; 16 veces el 3; 18 veces el 4; 19 veces el 5; 14 veces el 6. Vamos a elaborar una tabla de las frecuencias absolutas  y relativas de cada puntuación: Resultados frec. Absoluta frec. Relativa 1 16 0,16 2 17 0,17 3 16 0,16 4 18 0,18 5 19 0,1

Fenómenos deterministas y fenómenos aleatorios Fenómeno determinista o experimento determinista es aquel que, realizado en las mismas circunstancias, da los mismos resultados. Por ejemplo, dejar caer una piedra es un experimento determinista. Fenómeno aleatorio o experimento aleatorio es aquel, que aunque se repita en las mismas circunstancias, no se puede predecir cuál va a ser el resultado. Por ejemplo, tirar un dado al aire y anotar el resultado, sacar una baraja de una carta... son experimentos aleatorios. Las causas que influyen en cada uno de estos resultados son desconocidas y se engloban en lo que se ha denominado azar. La probabilidad tiene por objeto el estudio de los fenómenos aleatorios, Espacio muestral El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denota por la letra E , y su número de elementos, por la letra N . Ejemplos: El espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio de tirar u

Un ejemplo para comprender mejor lo explicado en esta entrada . Ejercicio En esta distribución bidimensional están reflejados las tallas (en cm) y los pesos (en kg) correspondientes a siete personas: Talla (x i ) 170 172 160 168 176 165 169 Peso (y i ) 65 70 50 62 72 55 55 Considerando la talla como variable independiente, X: Calcular la recta de regresión de Y sobre X. Calcular el coeficiente de correlación de Pearson. Estimar el peso de unas personas de 163 cm. Resolución 1) Se elabora primeramente la siguiente tabla: x i y i x i ·y i x i 2 y i 2 170 65 11050 28900 4225 172 70 12040 29584 4900 160 50 8000 25600 2500 168 62 10416 28224 3844 176 72