Generalidades y definiciones en probabilidad

Fenómenos deterministas y fenómenos aleatorios

1. Fenómeno determinista o experimento determinista es aquel que, realizado en las mismas circunstancias, da los mismos resultados. Por ejemplo, dejar caer una piedra es un experimento determinista.
2. Fenómeno aleatorio o experimento aleatorio es aquel, que aunque se repita en las mismas circunstancias, no se puede predecir cuál va a ser el resultado. Por ejemplo, tirar un dado al aire y anotar el resultado, sacar una baraja de una carta... son experimentos aleatorios.

Las causas que influyen en cada uno de estos resultados son desconocidas y se engloban en lo que se ha denominado azar.

La probabilidad tiene por objeto el estudio de los fenómenos aleatorios,

Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denota por la letra E, y su número de elementos, por la letra N.

Ejemplos:

• El espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio de tirar un dado al aire, lo constituyen todas las posibles puntuaciones del dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y N = 6

• El espacio muestral asociado al fenómeno aleatorio de sumar las puntuaciones obtenidas al tirar dos dados al aire, es el siguiente:

E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} y N = 11

Sucesos

Un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Los sucesos se denominan también sucesos aleatorios o sucesos estocásticos. Se denotan con letras mayúsculas, y el número de sus elementos, con la letra n.

Se dice que un suceso A se verifica, cuando al efectuar el experimento se obtiene como resultado uno de los elementos del suceso A. También se puede decir en ese caso que ha ocurrido, se ha realizado, o se ha presentado el suceso A.

En caso contrario, se dice que el suceso A no se verifica.

Así, al tirar un dado al aire, el suceso A = {2, 4, 6} se verifica si se obtiene el 2 o 4 o 6; y no se verifica si se obtiene el 1 o 3 o 5.

Espacio de sucesos

El conjunto de todos los subconjuntos o sucesos de un fenómeno aleatorio se llama espacio de sucesos y se denota por la letra S.

Así, por ejemplo, en el espacio muestral correspondiente al fenómeno aleatorio de tirar una moneda al aire: E = {C, X}; N = 2, el espacio de sucesos está formado por S = {Ø, {C}, {X}, {C, X}}.

Si el espacio muestral tiene N elementos, el espacio de sucesos tendrá 2^N elementos.

Suceso imposible

Se llama suceso imposible a un suceso que no se realiza nunca. Se designa por Ø.

Al tirar un dado al aire, el suceso obtener una puntuación superior a 6 es un suceso imposible.

Suceso seguro

Se llama suceso seguro a un suceso que ocurre siempre como resultado de un determinado experimento aleatorio.

El suceso seguro coincide, por tanto, con el conjunto de posibles resultados del experimento, llamado espacio muestral.

Al lanzar un dado al aire, el suceso de que salga 1, 2, 3, 4, 5 o 6 es un suceso seguro.

Suceso elemental

Un suceso se dice que es elemental cuando está formado por un solo elemento.

Al extraer una carta de una baraja, el suceso sacar as de oros es un suceso elemental:

A = {obtener un as de oros}; n =  1

Unión de sucesos

Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso unión, y se designa por AᴗB, al suceso consistente en que se realice A o se realice B. El suceso unión está formado por todos los elementos de A y de B.

Si al tirar un dado al aire, se consideran los sucesos:

1. A = {obtener puntuación impar} = {1, 3, 5}
2. B = {obtener un múltiplo de 3} = {3, 6}

A ᴗ B = {1, 3, 5, 6}

Intersección de sucesos

Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso intersección y se designa por AᴖB, al suceso consistente en que se realicen ambos sucesos simultáneamente. El suceso intersección está formado por elementos comunes a ambos sucesos.

Si consideramos el caso anterior, AᴖB = {3}

Sucesos incompatibles

Dos o más sucesos son incompatibles cuando no se pueden realizar simultáneamente.

Dos sucesos incompatibles no tienen ningún elemento común y por tanto, su intersección es vacía.

A y B incompatibles => AᴖB = Ø

Sucesos compatibles

Dos o más sucesos son compatibles cuando puede realizarse simultáneamente.

Para que varios sucesos sean compatibles han de tener algún elemento en común, y por lo tanto, su intersección es no vacía.

En el experimento consistente en extraer una carta de una baraja, los sucesos A = {extraer oro} y B = {extraer figura} son compatibles.

Sucesos contrarios

Dado un suceso A se llama suceso contrario de A, y se designa por A', al suceso que se realiza cuando no se realiza  A.

Por ejemplo, al tirar un dado al aire, el contrario de A = {obtener puntuación superior a cuatro} = {5, 6} es A' = {obtener puntuación inferior o igual a cuatro} = {1, 2, 3, 4}

Observaciones sobre el suceso contrario:

1. La unión de un suceso y su contrario dan como resultado el espacio muestral.
2. La intersección de un suceso y su contrario es el vacío.
3. Un suceso y su contrario son siempre incompatibles, pero dos sucesos incompatibles no tienen porqué ser contrarios.