Cálculo de probabilidades condicionadas

Unos cuantos ejercicios para entender mejor lo explicado en la entrada anterior.

Ejercicio 1

Un alumno estudió 8 de los 12 temas de que constaba un examen. Tenemos que calcular la probabilidad de que, elegidos dos temas al azar, conteste correctamente a ambos.

• El espacio muestral está formado por los 12 temas.
• Sea el suceso A = {responder bien al primer tema}; p(A) = 8/12
• Sea el suceso B = {responder bien al segundo tema}

La probabilidad pedida es p(AᴖB), probabilidad de que el alumno responda bien al primer tema y al segundo tema.

Para calcular p(AᴖB) hay que conocer p(B/A), probabilidad de que habiéndose sabido el primer tema, se sepa también el segundo.

De los 12 temas iniciales, se ha sacado uno que el alumno sabía, luego quedan 11 temas de los que el alumno sabe 7. Por tanto, p(B/A) = 7/11.

Así, la probabilidad pedida es:

p(AᴖB) = p(A)·p(B/A) = (8/12)·(7/11) = 56/132 = 0,42

Ejercicio 2

Se sacan dos cartas al azar de una baraja de 40. Tenemos que calcular la probabilidad de que sean dos sotas si:

1. Se devuelve la carta a la baraja una vez vista.
2. No se devuelve la carta a la baraja.

Sean los sucesos A = {extraer una sota en la primera carta}, B = {extraer una sota en la segunda carta.

El suceso B/A consiste en obtener sota en la segunda carta sabiendo que la primera fue una sota. La probabilidad pedida es p(AᴖB).

1)

En este caso, los sucesos A y B son independientes.

p(AᴖB) = p(A)·p(B) = (4/40)·(4/40) = 1/100

2)

En este caso, los sucesos A y B son dependientes, puesto que la carta no se reemplaza.

• p(A) = 4/40. Se obtiene una sota y se deja fuera de la baraja.
• p(B/A) = 3/39. Quedan 39 cartas y 3 de ellas son sotas.
• p(AᴖB) = p(A)·p(B/A) = (4/40)·(3/39) = 1/130

Observa que cuando las extracciones se efectúan con devolución o reemplazamiento, los sucesos son independientes. En caso contrario, son dependientes.