La distribución binomial

La distribución binomial se aplica a variables aleatorias discretas, cuando se estudian situaciones en las que se repiten pruebas de un experimento aleatorio, independientes entre sí, con la intención de determinar la probabilidad de la ocurrencia de un determinado suceso o de su contrario.

Ejemplo de distribución binomial

El cálculo de la probabilidad de que al tirar un dado cinco veces, salgan exactamente unos, se ajusta a este tipo de distribución. Se trata de repetir cinco veces un experimento, siendo las pruebas independientes entre sí, y observar la presencia o ausencia de la puntuación uno.

Llamando A al suceso consistente en que al tirar un dado al aire, la puntuación obtenida sea un 1, y A' al suceso contrario de A, es decir, que al tirar un dado al aire la puntuación obtenida no sea 1, las probabilidades de A y A' son:

• A = {1}; p(A) = 1/6
• A' = {2, 3, 4, 5, 6}; p(A') = 5/6

El suceso pedido consiste en que al realizar 5 veces el experimento, ocurra 4 veces A y una vez A'. Podría pensarse entonces que, dado que los sucesos son independientes, la probabilidad pedida es el producto de las probabilidades de cada uno de ellos:

p(4 unos) = P(A)·P(A)·P(A)·P(A)·P(A') = (1/6)⁴·(5/6)

¿Pero de cuántas maneras posibles pueden darse cinco pruebas, como resultado, exactamente cuatro unos?

La respuesta se obtiene calculando las permutaciones con repetición de 5 elementos, en los que uno de ellos se repite 4 veces. Es decir:

PR^4,1₅ = 5!/(4!1!) = 5 = C_5,4

Los cuatro unos se pueden obtener de cinco formas diferentes, dependiendo del lugar que ocupe A':

A',A,A,A,A; A,A',A,A,A; AAA'AA; AAAA'A; AAAAA'

Por lo tanto, P(4 unos) = C_5,4(1/6)⁴(5/6) = 5·(1/1296)·(5/6) = 0,03

Si en lugar de cuatro unos, se pidiera la probabilidad de obtener exactamente 3 unos, la probabilidad pedida sería:

P(3 unos) = C_5,3·(1/6)³·(5/6)² = 250/776 = 125/3888 = 0,0321

Condiciones para que un experimento se ajuste a la distribución binomial

Un experimento sigue una distribución binomial o se ajusta a una distribución binomial cuando:

1. En cada prueba del suceso sólo se consideran dos sucesos: A, llamado éxito, y su contrario, A', llamado fracaso. Los sucesos A y A' son contrarios e incompatibles.
2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados anteriores.
3. La probabilidad del suceso A es constante en todas las repeticiones del experimento. Por lo tanto, la probabilidad de A', que es 1 - P(A), es también constante.
4. La probabilidad de éxito se denota con la letra p y la del suceso contrario con q.

Variable aleatoria binomial

La variable X, que indica en cada caso el número de éxitos obtenidos, se llama variable aleatoria binomial y es una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores  1, 2, ..., n, según el número de éxitos obtenidos en n repeticiones del experimento.

La variable correspondiente a una distribución binomial en la que se ha repetido n veces el experimento con una probabilidad de éxito igual a p, se representa por B(n, p), donde n y p reciben el nombre de parámetros de la distribución binomial.

Función de probabilidad de una variable aleatoria binomial

Sea X una variable aleatoria binomial.

La probabilidad de que la variable X tome un valor determinado r, o probabilidad de obtener r éxitos en n pruebas, viene dada por:

P(X = r) = C_n,r·p^r·q^n-r

Observa que C_n,r·p^r·q^n-r es un término del desarrollo (p + q)ⁿ. Por eso esta distribución recibe el nombre de distribución binomial o distribución de Bernoulli.

La función f(x) = P(X = x) = C_n,x·p^xq^n-x, que asigna a cada valor de la variable su probabilidad, es la función de probabilidad de la distribución binomial.

Media, varianza y desviación típica de una distribución binomial

La media de una distribución binomial de parámetros n y p, B(n, p), viene dada por:

μ = n·p

La varianza de una distribución binomial B(n,p) viene dada por:

V(X) = n·p·q

La desviación típica de una distribución binomial B(n, p) viene dada por:

σ = √V(X) = √(n·p·q)