Probabilidad de la unión de sucesos

Para estudiar el cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos, también llamada probabilidad total, es conveniente distinguir dos casos:

Sucesos incompatibles

Si A y B son dos sucesos incompatibles, la probabilidad del suceso unión es:

p(AᴗB) = p(A) + p(B)

Esta propiedad se puede generalizar para el caso de dos o más sucesos:

p(AᴗBᴗC) = p(A) + p(B) + p(C)

siendo A, B, C sucesos incompatibles dos a dos.

Sucesos compatibles

Si A y B son dos sucesos compatibles, la probabilidad del suceso unión es:

p(AᴗB) = p(A) + p(B) - p(AᴖB)

Esto es debido a que, siendo los sucesos compatibles, el número de elementos del suceso AᴗB es:

n_AᴗB = n_A + n_B - n_AᴖB

Dividiendo entre N, se obtiene el resultado antes descrito.

Esta expresión puede generalizarse para el caso de más de dos sucesos:

p(AᴗBᴗC) = p(A) + p(B) + p(C) - p(AᴖB) - p(AᴖC) + p(AᴖBᴖC)

Ejemplos

Ejemplo 1

Tenemos que calcular la probabilidad de que al sacar una carta de una baraja de 40 cartas se obtenga as, figura o tres.

• El espacio muestral está formado por todas las cartas de la baraja: N = 40.
• Sea el suceso A = {extraer as}; n_a = 4, por lo que:

p(A) = 4/40 = 1/10

• Sea el suceso B = {extraer figura}; n_b = 12, por lo que:

p(B) = 12/40 = 3/10

• Sea el suceso C = {extraer un tres}; n_c = 4, por lo tanto:

p(C) = 4/40 = 1/10

• Se nos pide la probabilidad de extraer as, figura o tres, p(AᴗBᴗC). Como los sucesos son incompatibles dos a dos, AᴖB = ø; BᴖC = ø, AᴖC = ø, la probabilidad pedida es:

p(AᴗBᴗC) = p(A) + p(B) + p(C) = 1/10 + 3/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2

Ejemplo 2

Tenemos que calcular la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja de 40 el resultado sea oro o rey.

• El espacio muestral son todas las cartas de la baraja: N = 40.
• Sea el suceso A = {extraer un oro}; na = 10, por lo tanto:

p(A) = 10/40 = 1/4

• Sea el suceso B = {extraer un rey}; nb = 4, por lo que:

p(B) = 4/40 = 1/10

• La probabilidad pedida es p(AᴗB) = p(A) + p(B) - p(AᴖB). La probabilidad de AᴖB = {extraer oro y rey} = {extraer el rey de oros} es:

p(AᴖB) = 1/40

• Por lo tanto:

p(AᴗB) = p(A) + p(B) - p(AᴖB) = 1/4 + 1/10 - 1/40 = 13/40