Variables aleatorias discretas

El conjunto de valores que toma una variable aleatoria discreta, X(E) = {x₁, x₂, ..., x_n}, puede convertirse en un espacio de probabilidad sin más que definir la probabilidad de x_i como P(X=x_i). Es decir, la probabilidad de que la variable tome el valor x_i o la probabilidad de que se verifique el suceso representado por xi.

La probabilidad así definida cumple las propiedades:

1. P(X=x_i) ≥ 0
2. ΣP(X=x_i) = 1

Notación de la probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta

En general, se designa por P(X = a)  la probabilidad de los sucesos a los cuales la variable aleatoria X asigna el valor a. 

P(X = a) = P[X^-1(a)] = P[x ∈ / X(x) = a]

Se designa por P(X ≤ a) a la probabilidad de los sucesos a los cuales la variable aleatoria X asigna valores menores o iguales que a.

P(X ≤ a) = P[{x ∈ E / X(x) ≤ a}]

Se designa por P(a ≤ X ≤ b) la probabilidad de los sucesos a los cuales la variable aleatoria X asigna valores comprendidos entre a y b.

P(a ≤ X ≤ b) = P[{x ∈ E / a ≤ X(x) ≤ b}]

Ejemplo

• La probabilidad de obtener tres caras en el lanzamiento de tres monedas al aire es 1/8, resultado que se puede escribir como:

P(CCC) = P[X^-1(3)] = P(X = 3) = 1/8, aunque es frecuente, como se ha explicado antes, escribirlo como P(X = 3) = 1/8, confundiendo la función con su imagen.

• La probabilidad de obtener dos caras es:

P[X^-1(2)] = P(X = 2) = 3/8

• La probabilidad de obtener una cara es:

P[X^-1(1)] = P(X = 1) = 3/8

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

La función f definida del conjunto de valores que toma la variable aleatoria X(E) en el intervalo [0, 1], y asigna a cada valor de X(E) su probabilidad, se llama función de probabilidad o función de cuantía de la variable aleatoria.

f:X(E) →[0,1]

                         x_i → f(x_i) = P(X = x_i)

Así, en los ejemplos A y B explicados en esta pasada entrada, referentes a la puntuación obtenida al tirar un dado al aire, las funciones de probabilidad son:

f:X(E) →[0, 1]

                     1 →f(1) = P(X = 1) = 1/6

                     2 → f(2) = P(X = 2) = 1/6

                     3 → f(3) = P(X = 3) = 1/6

                    4 → f(4) = P(X = 4) = 1/6

                    5 → f(5) = P(X = 5) = 1/6

                    6 → f(6) = P(X = 6) = 1/6

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g:X(E) → [0,1]

                           -3 → g(-3) = P(X = -3) = 2/6

                         0 → g(0) = P(X = 0) = 1/6

                         2 → g(2) = P(X = 2) = 1/6

                         3 → g(3) = P(X = 3) = 2/6

Representación gráfica de la función de probabilidad

Vamos a tomar un ejemplo concreto para hacer una representación gráfica de una función de probabilidad:

En el espacio muestral correspondiente a tirar tres monedas al aire, se define una variable aleatoria que asigna a cada elemento del espacio muestral el número de caras.

1. X(CaraCaraCara) = 3, p(X = 3) = 1/8
2. X(CaraCaraCruz) = 2, X(CaraCruzCara) = 2, X(CruzCaraCara) = 2; p(X = 2) = 3/8
3. X(CruzCruzCara) = 1, X(CruzCaraCruz) = 1, X(CaraCruzCruz) = 1; p(X = 1) = 3/8
4. X(CruzCruzCruz) = 0; p(X = 0) = 1/8

La representación gráfica de esta función de probabilidad es la siguiente:

Representación gráfica de función de probabilidad

Función de distribución de una variable aleatoria discreta

En muchas ocasiones interesa conocer la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que un cierto valor dado x_i.

Por ello, se define la función de distribución.

Sea X una variable aleatoria discreta. La función F definida en el conjunto de los números reales en el intervalo [0, 1]:

F:R → [0,1]

                    x → F(x) = P(X ≤ x)

recibe el nombre de función de distribución.

P(X≤ x) se lee probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores menores o iguales que x.

En una variable aleatoria discreta, cuyo conjunto imagen es X(E) = {x₁, x₂, ..., x_n}, siendo x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n, la función de distribución de un valor x_i de la variable, se obtiene sumando las probabilidades correspondientes a cada uno de los valores de la variable menores o iguales que x_i.

F(x_i) = f(x₁) + f(x₂) + ... + f(x_i) = P(X ≤ x_i)

• Propiedades de la función de distribución

1. F(x) = 1, para x ≥ x_n. La función de distribución vale 1 para cualquier valor superior o igual al máximo valor que toma la variable.
2. F(x) = 0 para x < x1. La función de distribución vale 0 para cualquier valor inferior al mínimo valor que toma la variable.
3. Para cualquier número real x comprendido entre dos valores de la variable, x_i ≤ x ≤ x_i+1, F(x) = F(x_i). Es decir, la distribución es constante en cada intervalo [x_i, x_i+1].
4. La función de distribución es una función escalonada.
5. La función de distribución es creciente.

Valor medio de una variable aleatoria discreta

Sea X una variable aleatoria discreta y X(E) = {x₁, x₂, ..., x_n} el conjunto de valores que toma la función.

Se define la media o el valor medio de X, y se representa por μ al valor:

μ = P(X = x₁)x₁ + P(X = x₂)x₂ + ... + P(X = x_n)x_n = ΣP(X=x_i)x_i

Esta expresión se puede escribir como:

μ = f(x₁)x₁ + f(x₂)x₂ + ... + f(x_n)x_n = Σf(x_i)x_i

El valor medio de una variable aleatoria se llama también esperanza matemática o valor esperado de X y se representa por E[X].

Observa el paralelismo existente entre esta definición y la definición de la media aritmética para una variable estadística. Al papel que desempeña la frecuencia relativa en una variable estadística, le corresponde la probabilidad en la variable aleatoria.