Cálculo del coeficiente de correlación

Un ejemplo para comprender mejor lo explicado en esta entrada.

Ejercicio

En esta distribución bidimensional están reflejados las tallas (en cm) y los pesos (en kg) correspondientes a siete personas:

Talla (xi)	170	172	160	168	176	165	169
Peso (yi)	65	70	50	62	72	55	55

Considerando la talla como variable independiente, X:

1. Calcular la recta de regresión de Y sobre X.
2. Calcular el coeficiente de correlación de Pearson.
3. Estimar el peso de unas personas de 163 cm.

Resolución

1) Se elabora primeramente la siguiente tabla:

xi	yi	xi·yi	xi2	yi2
170	65	11050	28900	4225
172	70	12040	29584	4900
160	50	8000	25600	2500
168	62	10416	28224	3844
176	72	12672	30976	5184
165	55	9075	27225	3025
169	55	9295	28561	3025
1180	429	72548	199070	26703

Realizamos los cálculos oportunos:

• x = 1180/7 = 168.57; y = 429/7 = 61,29
• σ²_x = Σx²_i - x² = 22,727
• σ²_y = Σy²_i - y² = 58,25
• σ_xy = Σ(x_i·y_i)/N - x · y = (72548/7) - 168,57·61,29 = 32,345
• σ_xy/σ²_x = 32,345/22,727 = 1,423
• σ_xy/σ²_y = 32,345/58,25 = 0,555

Por lo tanto, la recta de regresión es:

y = (σ_xy/σ²_x)·(x - x) + y  = 1,423·(x - 168.57) + 61,29

Operando, tenemos:

y = 1,423x - 178,585

2) Coeficiente de correlación de Pearson:

r = σ_xy/(σ_x·σ_y) = 32,345/(√22,727·√58,25) = 0,889

Al ser r positivo, la correlación es positiva, es decir, al aumentar la talla, aumenta el peso y al disminuir la talla, disminuye el peso.

Por ser r próximo a uno, la nube de puntos se ajusta muy bien a la recta de regresión.

3)

y = 1,423x - 178,585

Para x = 163, y = 1,423·163 - 178,585 = 53,364

El recorrido de x es de 160 a 176. Luego, por interpolación, se estima que una persona de 163 cm pesará 53,364 kg.