Cálculo de la esperanza matemática para una variable aleatoria discreta

Unos cuantos ejercicios, como de costumbre, para poner en práctica lo aprendido en la entrada anterior.

Ejercicio 1

Dos jugadores A y B tiran un dado al aire. Si sale 2, 4 o 6, el jugador A ganará 20, 40 o 60 euros, respectivamente. Si sale 1, 3 o 5, el jugador A pagará 10, 30 o 50 euros. Tenemos que calcular el valor esperado del juego.

X: E → R

     1 → -10

     2 → +20

     3 → -30

     4 → +40

     5 → -50

     6 → +60

E[X] = f(1)·(-10) + f(2)·(+20) + f(3)·(-30) + f(4)·(40) + f(5)·(-50) + f(6)·(60) = (1/6)·(-10) + (1/6)·20 + (1/6)·(-30) + (1/6)·(40) + (1/6)·(-50) + (1/6)·(60) = (1/6)·(-10 + 20 -30 + 40 -50 + 60) = (1/6)·(30) = 5

El juego es por tanto favorable al jugador A.

Si el juego se realiza un número indefinido de veces, el valor esperado es que el jugador A gane 5 euros.

Ejercicio 2

Dada la variable aleatoria X:E → R, cuyos valores son 2, 4, 6, 8 y 10 con probabilidades

p(X = 2) = 2/10

p(X = 4) = 3/10

p(X = 6) = 3/10

p(X = 8) = 1/10

 p(X = 10) = 1/10

1. Obtener la función de distribución.
2. Representar gráficamente la función de probabilidad.
3. Representar gráficamente la función de distribución.
4. Calcular la media.

1)

F(x) = 0

F(x) = 0,2; 2≤x<4
F(x) = 0,3 + 0,2 = 0,5; 4≤ x <6
F(x) = 0,3 + 0,3 + 0,2 = 0,8 6 ≤x< 8
F(x) = 0,1 + 0,3 + 0,3 + 0,2 = 0,9; 8≤x<10

2) y 3)

Función de distribución

Función de probabilidad

4)

E[X] = 2·0,2 + 4·0,3 + 6·0,3 + 8·0,1 + 10·0,1 = 0,4 + 1,2 + 1,8 + 0,8 + 1 = 5,2