Las variables aleatorias continuas

Cuando la variable aleatoria es continua, ésta puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de la recta real. Al haber infinitos posibles valores de la variable, si cada uno de ellos tiene una probabilidad mayor que cero, la suma de todas ellas sería mayor que 1.

Por lo tanto, la probabilidad de un valor concreto para una variable aleatoria continua es cero: P(X = x_i) = 0.

Por ejemplo, si los pesos de los alumnos de un clase están comprendidos entre 45 y 60 kilos, la probabilidad de que un alumno pese exactamente 46,5 kg es prácticamente nula y lo mismo ocurre con la probabilidad de que pese cualquier otro valor entre 45 y 60. Al decir que el alumno pesa 55,5 kg, no hay que entender que su peso exacto es 55,5 kg, sino que está dentro de un intervalo que contiene a 55,5. Cuanto menor sea el intervalo, con más exactitud se dará su peso.

Por lo tanto, las probabilidades puntuales en las variables aleatorias continuas no tienen sentido, por ser todas nulas, y por ello no se define la función de probabilidad como se hizo en las variables aleatorias discretas.

Cuando la variable aleatoria es continua, hay que calcular la probabilidad de que la variable sea menor que un valor determinado, P(X ≤ x_i), mayor que un valor determinado, P(X ≥x_i). o bien la probabilidad de que la variable esté comprendida entre dos valores determinados P(x_i ≤ X ≤ x_j).

Decir menor que un valor determinado es lo mismo que decir menor o igual, puesto que las probabilidades puntuales son nulas. Lo mismo ocurre en el caso de mayor o mayor o igual.

Función de densidad de una variable aleatoria continua

Sea X una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo [a, b].

Se define como función continua f:[a, b] → R que cumple:

1. P(X ≤ k) es igual al área limitada por la curva y = f(x) y la recta x = k.
2. En términos de cálculo integral, lo dicho anteriormente se expresa: P(X  ≤ k) = ∫_a^kf(x)dx.

Una función de estas condiciones se llama función de densidad de la variable X.

Propiedades de la función de densidad

1. f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. La función no es negativa para ningún valor.
2. ∫_a^bf(x)dx = P(a ≤ X ≤ b) = 1. El área total limitada bajo su curva es 1.

En el paso del estudio de una muestra al estudio de una población infinita, el polígono de frecuencias se transforma en una curva continua llamada curva de probabilidad, cuya ecuación matemática es la función de densidad.

Función de distribución de una variable aleatoria continua

La función de distribución para una variable aleatoria continua se define del mismo modo que para una variable aleatoria discreta, con la diferencia de que ahora se sustituye la suma de las probabilidades de una cantidad finita de valores por el signo de la integral, que en definitiva, es también una suma.

F:R → R

                                          x → F(x) = P(X ≤ x) = ∫_a^xf(t)dt

Por lo tanto, la función de densidad es la derivada de la función de distribución.

Propiedades

1. F(x) = 0; si x < a.
2. F(x) = 1; si x > b.
3. La función F es monótona creciente si a ≤ b, F(a) ≤ F(b).
4. P(X = x) = 0.
5. F'(x) = f(x).

Media de una variable aleatoria continua

La media, valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria continua X, que toma valores en un intervalo [a, b], se define como:

μ = E[X] =  ∫_a^bx·f(x)dx; siendo f la función de densidad.

En la siguiente entrada, unos ejemplos para entender mejor lo explicado.