Variable aleatoria

Espacio muestral

El espacio muestral E asociado a un fenómeno aleatorio, ya definido y explicado en este tema, es el conjunto de todos sus posibles resultados, numéricos o no.

Así, por ejemplo, en el experimento aleatorio consistente en tirar un dado al aire, el conjunto de sus posibles resultados o espacio muestral es:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sin embargo, en el experimento aleatorio consistente en tirar tres monedas al aire, el espacio muestral estará formado por E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCX, XXC, XXX}, donde C representa obtener cara y X obtener cruz. Estos resultados no se expresan con números.

Concepto de variable aleatoria

Una variable aleatoria es una función definida del espacio muestral E en el conjunto R de los números reales, y asocia a cada elemento del espacio muestral un número real.

Las variables aleatorias se suelen designar con letras mayúsculas y sus imágenes con minúsculas.

En general, dado el espacio muestral E = {x₁, x₂, ..., x_n la función definida por

X: E → R

            x₁ → X(x₁)

            x₂ → X(x₂)

.

.

.

           x_n → X(x_n)

es una variable aleatoria.

En general, cuando el conjunto de los elementos de E es numérico, se acostumbra a respetar para las imágenes los valores de sus elementos, si no hay razón para lo contrario.

Por comodidad del lenguaje, se tiende a identificar la función X con los valores que toma. Así, si X(x1) = a, se escribe X = a.

El conjunto de elementos de E que tienen por imagen al número a se denota por X^-1(a).

Ejemplos de variables aleatorias

• En el experimento aleatorio tirar un dado al aire, la función que asigna a cada resultado la puntuación obtenida es una variable aleatoria.

X:E → R

1→ X(1); por lo tanto X^-1(1) = {1}

2 → X(2); por lo tanto X^-1(2) = {2}

3 → X(3); por lo tanto X^-1(3) = {3}

4 → X(4); por lo tanto X^-1(4) = {4}

5 → X(5), por lo tanto X^-1(5) = {5}

6 → X(6); por lo tanto X^-1(6) = {6}

• Para el mismo experimento aleatorio de tirar un dado al aire, se puede definir otra variable aleatoria haciendo estas asignaciones:

X:E → R

1→ X(1) = - 3 

2 → X(2) = - 3 

3 → X(3) = 0; 

4 → X(4) = 2 

5 → X(5) = 3 

6 → X(6) = 3

• Por lo tanto:

1.  X^-1(-3) = {1, 2}
2.  X^-1(0) = {3}
3.  X^-1(2) = {4}
4.  X^-1(3) = {5, 6}

• En el experimento aleatorio correspondiente a determinar el sexo del futuro hijo de una mujer embarazada, el espacio muestral es E = {fémina, varón}. La función definida por:

X:E → R

varón→ 0

fémina → 1

es una variable aleatoria, donde X^-1(0) = {varón} y X^-1(1) = {fémina}