Probabilidad de la intersección de sucesos

Para estudiar la probabilidad de una intersección de sucesos (también llamada probabilidad compuesta) se distinguirán dos casos:

Los sucesos son independientes

Si dos sucesos A y B son independientes, la probabilidad del suceso intersección es:

p(AᴖB) = p(A)·p(B)

Este resultado se puede generalizar para varios sucesos, siempre que sean independientes:

p(AᴖBᴖC) = p(A)·p(B)·p(C)

Los sucesos son dependientes

Si dos sucesos A y B son dependientes, la probabilidad de la intersección es

p(AᴖB) = p(A)·p(B/A)

Este resultado se puede generalizar a tres sucesos (o más):

p(AᴖBᴖC) = p(AᴖB)·p(C/AᴖB) = p(A)·p(B/A)·p(C/AᴖB)

siendo A, B y C sucesos dependientes.

Ejemplo 1

La probabilidad de que un alumno apruebe matemáticas es 6/10, y de que apruebe lenguaje es 8/10. Calcular la probabilidad de que un alumno:

1. Apruebe ambas asignaturas.
2. Suspenda ambas asignaturas.
3. Apruebe al menos una de las dos
4. Apruebe matemáticas y suspenda lenguaje.

Sean los sucesos:

• M = {aprobar matemáticas}
• M' = {suspender matemáticas}
• L = {aprobar lenguaje}
• L' = {suspender lenguaje}

El espacio muestral es:

E = {MᴖL; M'ᴖL; MᴖL'; M'ᴖL'}

1)

Los sucesos M y L son independientes. Por lo tanto:

p(MᴖL) = p(M)·p(L) = (6/10)·(8/10) = 48/100 = 0,48

2)

La probabilidad pedida es p(M'ᴖL').

Puesto que ambos sucesos son independientes y

• p(M') = 1 - p(M) = 1 - 6/10 = 4/10
• p(L') = 1 - p(L) = 1 - 8/10 = 2/10

La probabilidad de suspender ambas asignaturas es:

p(M')·p(L') = (4/10)·(2/10) = 0,08

3)

El suceso aprobar al menos una de las dos asignaturas está formado por {MᴖL; M'ᴖL; MᴖL'}. Es el contrario de suspender ambas asignaturas. Por tanto:

p(MᴖL; M'ᴖL; MᴖL') = 1 - 8/100 = 92/100

4)

La probabilidad pedida es p(MᴖL'). Por ser sucesos independientes:

p(MᴖL') = p(M)·p(L') = (6/10)·(2/10) = 12/100 = 0,12

Ejemplo 2

Tres ruletas iguales están pintadas con los colores rojo y azul, cada una de ellas de la siguiente forma:

1. Primera ruleta: 180º en rojo y 180º en azul.
2. Segunda ruleta: 135º en rojo y 225º en azul.
3. Tercera ruleta: 270º en rojo y 90º en azul.

Tenemos que calcular la probabilidad de que al hacer girar las tres ruletas simultáneamente, se obtengan dos rojos y un azul.

La proporción de colores y probabilidades de que salga rojo o azul en cada ruleta son:

• Primera ruleta:

1. Proporción rojo: 1/2
2. Proporción azul: 1/2

Por lo que en esta ruleta, la probabilidad de rojo, p₁(R) = 1/2, y la probabilidad de azul, p₁(A) = 1/2.

• Segunda ruleta:

1. Proporción rojo: 3/8
2. Proporción azul: 5/8

Por lo que en esta ruleta, la probabilidad de rojo, p₂(R) = 3/8, y la probabilidad de azul, p₂(A) = 5/8.

• Tercera ruleta:

1. Proporción rojo: 3/4
2. Proporción azul: 1/4

Por lo que en esta ruleta, la probabilidad de rojo, p₃(R) = 3/4, y la probabilidad de azul, p₃(A) = 1/4.

La probabilidad pedida es: p(RRAᴗRARᴗARR)

Los sucesos RRA, RAR y ARR son incompatibles dos a dos. Por tanto:

p(RRAᴗRARᴗARR) = p₁(R)·p₂(R)·p₃(A) + p₁(R)·p₂(A)·p₃(R) + p₁(A)·p₂(R)·p₃(R) = (1/2)·(3/8)·(1/4) + (1/2)·(5/8)·(3/4) + (1/2)·(3/8)·(3/4) = 27/64