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Ejercicios de distribución binomial

Unos ejercicios para poder comprender mejor lo explicado en la entrada anterior.

Ejercicio 1

Una fábrica de zapatos produce el 5% de los zapatos con algún defecto. Un lote de zapatos es rechazado si, tomando una muestra de 10 zapatos, se encuentra alguno defectuoso.

Tenemos que calcular la probabilidad de que se produzca un rechazo.
  • En cada zapato, se consideran los sucesos:
  1. A = {ser defectuoso}, con probabilidad p = 5/100 = 0,05
  2. A' = {no ser defectuoso}, con probabilidad q = 1 - p = 0,95
  • Para saber si hay que rechazar o no el lote, se repite el experimento de comprobar para cada zapato, con una muestra de 10 zapatos, n = 10, siendo las pruebas independientes entre sí. Se trata, por tanto, de una distribución binomial , de parámetros n = 10, y p = 0,05.
  • El lote es rechazado si se encuentra algún zapato defectuoso, es decir, si la variable X = Número de zapatos defectuosos en una muestra de 10 zapatos es distinta de 0. De los posibles valores de la variable X, la muestra es rechazada para X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
  • Hay que calcular por tanto:
P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = 1 - P(X = 0)

El suceso ningún zapato defectuoso en una muestra de 10 y el suceso algún zapato defectuoso en una muestra de 10 son sucesos contrarios, luego la suma de las probabilidades es 1.

P(X = 0) =C10,0 = p0·q10 = 1·1·(0,95)10 = 0,5987

La probabilidad pedida es:

1 - P(X = 0) = 1 - 0,5987 = 0,4013

La probabilidad de rechazar la muestra es de 40,13%.

Ejercicio 2

La probabilidad de que un collar de perlas fabricado por una máquina sea defectuoso es de 0,03.
  1. Tenemos que calcular la probabilidad de que un lote de 50 collares tenga más de cuatro collares defectuosos.
  2. Calcular la media y la desviación típica del lote.
  • Se consideran los sucesos
  1. A = {collar defectuoso}, con probabilidad p = 0,03
  2. A' = {collar no defectuoso}, con probabilidad q = 1 - p = 0,97
La variable X asocia a cada lote de 50 collares, n = 50, el número de collares defectuosos. X puede tomar cualquier valor entre 0 y 50. Por tanto, se trata de una distribución binomial B(50; 0,03).

1)

La probabilidad de que un lote tenga más de 4 collares defectuosos es:

P(X = 5) + P(X = 6) + ... + P(X = 50)

Se puede calcular considerando el suceso contrario, probabilidad de que un lote tenga 4 o menos collares defectuosos:

P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

Por tanto:

  • P(X = 0) = C50,0·p0·q50 = (0,03)0·(0,97)50 = 0,218
  • P(X = 1) = C50,1·p1·q49 = (0,03)1·(0,97)49 = 0,336
  • P(X = 2) = C50,2·p2·q48 = (0,03)2·(0,97)48 = 0,254
  • P(X = 3) = C50,3·p3·q47 = (0,03)3·(0,97)47 = 0,125
  • P(X = 4) = C50,4·p4·q46 = (0,03)4·(0,97)46 = 0,046
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,978

Por lo tanto,

P(X = 5) + P(X = 6) + ... + P(X = 50) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ] = 1 - 0,978 = 0,022 = 2,2%

2)

La media es μ = n·p = 50·0,03 = 1,5.
La desviación típica es σ =  = √(npq) = √(50·0,03·0,97) = 1,206



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