Estadística y combinatoria al alcance de todos

Una de las aplicaciones más interesantes de los índices de precios es su función de deflactores. De hecho, la gran popularidad que han alcanzado estos instrumentos se debe a su capacidad para medir la inflación. En efecto, el resultado de un índice sintético de precios proporciona una cifra que (si el índice ha sido adecuadamente construido) resume de forma satisfactoria las fluctuaciones que han afectado entre dos instantes a los precios de un conjunto de bienes y servicios. En concreto, el índice básico construido en esta entrada  constituiría una aproximación al aumento de precios que ha afectado a los alimentos, y proporcionaría resultados válidos sólo si los tres artículos que abarca (leche, pan y patatas) fuesen representativos de cómo ha afectado el cambio de precios a otros productos (verduras, arroz, carne, pescados...). En realidad, nos interesaría disponer de un indicador en el que se incluyeran (con las correspondientes ponderaciones) representantes de todas las v

Al estudiar los promedios llegábamos a la conclusión de que para aquellas magnitudes que sufren variaciones acumulativas resultan adecuadas medidas de carácter multiplicativo. Si denominamos X t a los distintos valores que la magnitud X va alcanzando  a lo largo del tiempo, el índice I t,t-1 = X t /X t-1 cuantifica la variación de cada periodo respecto del inmediatamente anterior. Teniendo en cuenta que el carácter de esas variaciones es acumulativo, el valor final de la magnitud puede ser expresado como X t = X 0 ·I 1,0 ·I 2,1 ·...·I t,t-1 , y en consecuencia, la variación total de la magnitud X en el periodo considerado viene dada por la expresión denominada fórmula de índice cadena: X t /X 0 = I t,t-1 ·I t-1,t-2 ·...·I 2,1 ·I 1,0 La expresión de los índices cadena puede ser aplicada a cualquiera de las fórmulas de cálculo de índice explicadas. En general, para cualquier expresión de cálculo I, el correspondiente índice cadena entre los años 0 y t se obtiene como

El procedimiento más habitual para el cálculo de índices complejos es la consideración de la media ponderada de índices simples I t0 = ∑I i t0 w i /∑w i , donde la asignación de ponderaciones dependerá fundamentalmente del tipo de magnitud analizada en cada caso y de la información disponible sobre sus componentes. Si, por ejemplo, analizamos las variaciones de precios, parece claro que el valor de cada componente, calculado como producto del precio por la cantidad (w i = p i q i ), será adecuado para evaluar la importancia que ha tenido la variación del mismo. Partiendo de esta expresión de w i , la especificación de la cantidad q i dará lugar a distintas formas de cálculo. Así, una práctica habitual es considerar como pesos los valores referidos al año base (esto es, w i = p i0 ·q i0 ), posibilidad que da lugar a la fórmula de Laspeyres : L t0 = ∑p it q i0 /∑p i0 q i0 que es sin duda la de uso más extendido (es la fórmula empleada por el INE para calcular el

Para estudiar la idoneidad de las fórmulas alternativas de los índices sintéticos suelen ser adoptados unos criterios, algunos de los cuales serán examinados a continuación y que están basados en la propia interpretación de los números índices. Propiedad identidad El requisito más sencillo es la propiedad identidad, según la cual si el periodo actual coincide con el que se ha tomado como referencia, el valor del índice debe ser unitario o del 100%, es decir, I tt = I 00 = 1. La condición de identidad es satisfecha sin problemas por las distintas fórmulas de cálculo, ya que la propia interpretación de los índices se basa en esta propiedad (no se aprecian cambios en la magnitud analizada si el periodo adoptado como referencia coincide con el valor actual). Propiedad de inversión o reversión Parece claro que la variación de una o varias magnitudes entre dos instantes es única. Sin embargo, puede cambiar la óptica (el periodo) desde que se observa dicha variación. A modo d

El supuesto anterior de cuantificación de variaciones simples no se corresponde con la práctica más habitual en los estudios económicos, donde resultará más frecuente analizar la variación de magnitudes complejas (los agregados macroeconómicos, por ejemplo). Así, en el ejemplo presentado, sólo podemos efectuar afirmaciones sobre la evolución del precio de la leche, que no es representativa necesariamente de la sufrida por los restantes productos incluidos en la dieta alimenticia de las familias tipo de una población. En consecuencia, el interés de analizar aisladamente índices de precios de la leche es bastante limitado, por lo que es aconsejable elaborar un indicador de significado más amplio. Estas consideraciones son generalizables a la mayor parte de situaciones prácticas (cálculo del índice del coste de la vida, análisis de la variación en el coste de materias primas para un cierto proceso de fabricación...) en las que resulta conveniente obtener un índice que resuma en

Las magnitudes económicas sufren variaciones tanto a lo largo del tiempo como en el espacio, resultando interesante en muchas ocasiones efectuar comparaciones entre sus valores. Los indicadores utilizados habitualmente para llevar a cabo este tipo de comparaciones se denominan números índices y constituyen uno de los contenidos fundamentales de la Estadística (sobre todo, económica). Un número índice puede ser definido como la variación relativa de una magnitud. Este concepto incluye tanto los índices temporales que se obtienen cuando analizamos variaciones entre dos periodos de tiempo, como los espaciales, referidos a comparaciones entre distintas áreas, o ciertos indicadores mixtos que combinan los dos tipos de variación. El de uso más común es el de series temporales. La importancia de los números índices se pone de manifiesto si tenemos presente que éstos son el instrumento utilizado para estudiar la inflación, la evolución del poder adquisitivo u otra serie de cuest

Un par de ejercicios, para entender mejor lo explicado. Ejercicio 1 La distribución de los salarios de una determinada empresa X es la siguiente: Categoría Salarios (euros) Número de Trabajadores A [500-1300) 19 B [1300-1900) 18 C [1900-3500) 3 Tenemos que: Obtener el grado de concentración de los salarios. Si esta empresa decide fusionarse  con otra empresa Y, teniendo ésta el mismo nivel de concentración , ¿podemos determinar con esta información el nivel de concentración de los salarios de la empresa resultante de la fusión? Suponiendo que el número de asalariados en cada categoría en la nueva empresa Y es proporcional al de asalariados de la empresa X, determinar el grado de concentración de la entidad X-Y. Si la empresa X-Y decide aumentar los salarios en un 20%, ¿cuál será entonces el nivel de concentración de la nueva distribución de salarios? 1. Vamos a calcular el índice de conc

Las medidas explicadas resumen en una cifra el nivel de concentración o desigualdad existente en una población. No obstante, parece claro que este dato no representa por igual a todos los integrantes del colectivo, ya que son los valores de la variable los que determinan la situación concreta de cada uno de ellos. Situándonos en la óptica de los indicadores de desigualdad, resulta de interés aislar una medida de la desigualdad asignable a cada integrante de la población global y cuyos valores una vez resumidos nos proporcionen el nivel total de desigualdad para la población en su conjunto. El objetivo anterior es satisfecho por el índice de desigualdad individual definido para cada componente de la población como el valor de la expresión d i = ( x /x i ) - 1 = ( x - x i )/x i . Esta medida se obtiene expresando en términos relativos respecto a cada riqueza individual el déficit o superávit de dicha variable respecto a su media. La agregación de los indicadores individu

Las principales ventajas de los dos índices de desigualdad estudiados es que éstos son definidos de modo objetivo y permiten una interpretación sencilla de la situación distributiva en la población considerada. Además, al estar estos valores considerados entre 0 y 1 será también posible comparar la concentración de distintas distribuciones. Los indicadores de Gini y de Lorenz satisfacen además una serie de propiedades que son consistentes con la idea de concentración como indicador de la justicia distributiva. Así, si en un reparto de riqueza todos los individuos ven alterada su riqueza en cierta proporción, la situación distributiva global no habrá variado, hecho que se refleja en los valores inalterados de los índices de Lorenz y de Gini. Esta sería la situación, si, por ejemplo, todos los beneficiarios de la herencia del millonario se ven obligados a pagar un impuesto del 10%. Esta transformación proporcional de la variable es equivalente a un cambio de escala del tip

El índice de Gini consiste en la comparación de riqueza de cada par de componentes de la población. Para que esta comparación incluya cada par de individuos una sola vez, es necesario agregar las diferencias no negativas de cada par de valores de riqueza (de este modo cada individuo ve comparada su riqueza con todas las demás, aunque sean coincidentes). A partir de este agregado de diferencias de riqueza podemos construir un índice acotado si tomamos como denominador su valor máximo: (N - 1)·∑x i n i La medida resultante es el índice de Gini, cuya expresión viene dada por: I G = ∑(x r - x s )n r n s / (N - 1)·∑x i n i y admite la misma interpretación que el índice de Lorenz, hallándose también acotado entre 0 y 1. En el sumatorio del numerador, r > s. El cálculo del índice de Gini en nuestro ejemplo de la herencia conduce a un resultado de 0,903, cifra que supone una aproximación alternativa a la proporcionada por la medida de Lorenz para cuantific

En el ejemplo concreto que hemos visto en esta entrada , los pares de valores que determinan la distribución de la herencia vienen representados por cuatro puntos que aparecen recogidos en la tabla siguiente: Familia Miembros Herencia Familiar Herencia Personal N i p i x i n i A i q i B 7 7 1 7 0,7 7 7 0,0636 A 2 4 2 9 0,9 4 11 0,1 C 1 99 99 10 1 99 110 1 Los pares (0,0) y los pares (1, 1) pertenecen a cualquier otra curva de concentración, por lo que no proporcionan ninguna información adicional. Por el contrario, los otros dos puntos nos permiten examinar y cuantificar el desequilibrio en el reparto de la herencia: a la familia B, que supone un 70% del total de herederos le corresponde un 6,36% de la fortuna, mientras que la participación en la herencia del

Esta entrada es continuación de ésta otra . Te recomiendo leerla antes de pasar aquí, si no lo has hecho. Resulta evidente que la cuota de riqueza q i correspondiente a la proporción de pi individuos menos ricos nunca superará el valor de p i . Además, las distancias entre ambas proporciones nos indicarán en que medida nos estamos estamos alejando del reparto igualitario. Una situación de equidistribución llevaría asociados valores p i = q i para cualquier i = 1, 2,...,k. Su representación gráfica en un sistema de ejes cartesianos vendría dada por la diagonal del cuadrado de lado unidad, que recibe el nombre de recta de equidistribución. No obstante, en general, se tienen proporciones de individuos a las que corresponde una proporción inferior de riqueza q i , de modo que la representación gráfica de ambos ratios da lugar a una serie de puntos situados por debajo de la diagonal anterior. La línea poligonal que une estos puntos es la representación gráfica de uso general

Las medidas de desigualdad o concentración son indicadores que (partiendo de diferentes planteamientos) sintetizan en una cifra el desequilibrio global existente en una población. Estos índices proporcionan información útil en los análisis estadísticos y económicos, al cuantificar el nivel de concentración de la variable. Veamos el siguiente ejemplo, la distribución de la herencia de un multimillonario entre tres familias distintas: Familia Miembros Herencia (millones de euros) A 2 4 B 7 7 C 1 99 Para analizar el grado de concentración en el reparto de la herencia existen varios planteamientos posibles. Uno de ellos es considerar las situaciones individuales de los miembros de cada una de las familias y su participación en el total de los 110 millones de euros de herencia. Si la herencia estuviese equidistribuida, todos los miembros de cada una de las familias percibirían igual cantidad.

Partiendo de una representación gráfica de la distribución, bien sea un diagrama de barras o un histograma , la característica que más resalta en la primera visualización posiblemente sea su máximo, y si se trata de comparar dos distribuciones gráficas, una comparación inmediata antes de calcular cualquier tipo de promedio consistirá en ver si una es más apuntada que la otra. Puesto que al dar el valor que determina el máximo de la representación gráfica se tiene una primera impresión de la distribución, también de este modo estamos resumiendo la información inicial. Se define la moda (esto es repaso de lo ya explicado) como aquel valor de la variable que presenta el valor de mayor frecuencia. Su cálculo es inmediato cuando los datos están sin agrupar, salvo que haya más de un valor con esta frecuencia máxima, en cuyo caso se podría hablar de distribuciones bimodales, trimodales... Al igual que con la mediana , el cálculo de la moda para datos agrupados es un algo más co

La media aritmética puede ser considerada como el centro de gravedad de la distribución. Los valores bajos llevan a la media a tomar un valor bajo y los altos la llevan a valores altos, de manera que cuando el conjunto de valores es bastante uniforme se compensarán y la media resultará representativa. Para aquellas distribuciones que presenten valores anormalmente altos o bajos, o para las que algún valor tiene más tendencia a presentarse que el resto, es muy probable que la media aritmética supere o quede por debajo de la mayoría de las observaciones. En estos casos sería conveniente buscar un representante de la distribución con mayor capacidad descriptiva que la media. Recuerda que este representante es la mediana. Para refrescar la memoria sobre la mediana, veamos este sencillo ejemplo: Consideremos la distribución de salarios para un colectivo de 15 trabajadores de un cierto sector: Salarios (en euros) Número de Trabajadores 750 1 850

En algunas ocasiones, aparece la necesidad de tener más información de la que proporcionan los valores de la variable, y es preciso conocer la mayor o menor importancia que corresponde a cada uno de ellos dentro del campo de variación. Vamos a considerar el siguiente ejemplo: una empresa con ámbito en en cuatro provincias tiene una plantilla con diferente número de empleados en cada una de ellas y la productividad por empleado es 0,75; 0,65; 0,95 y 0,85 según las provincias. Para calcular la productividad media se deberá tener en cuenta que, aunque en la segunda la productividad por empleado es menor que en la primera, la producción total puede ser mayor si tiene más empleados en ella, es decir, en tal caso el valor 0,65 tendrá más importancia que el valor 0,75. Por tanto, se necesita conocer el número de empleados de cada provincia, como indicador del mayor o menor peso que corresponde a cada productividad. Vamos a suponer que el número de empleados de cada provincia es 50, 90,