Aspectos avanzados de la moda

Partiendo de una representación gráfica de la distribución, bien sea un diagrama de barras o un histograma, la característica que más resalta en la primera visualización posiblemente sea su máximo, y si se trata de comparar dos distribuciones gráficas, una comparación inmediata antes de calcular cualquier tipo de promedio consistirá en ver si una es más apuntada que la otra. Puesto que al dar el valor que determina el máximo de la representación gráfica se tiene una primera impresión de la distribución, también de este modo estamos resumiendo la información inicial.

Se define la moda (esto es repaso de lo ya explicado) como aquel valor de la variable que presenta el valor de mayor frecuencia.

Su cálculo es inmediato cuando los datos están sin agrupar, salvo que haya más de un valor con esta frecuencia máxima, en cuyo caso se podría hablar de distribuciones bimodales, trimodales...

Al igual que con la mediana, el cálculo de la moda para datos agrupados es un algo más complejo. 

En una distribución de datos agrupados, antes de determinar el valor de la moda habrá que localizar el intervalo que la contiene, que se llama intervalo modal.

Puede parecer que el problema de determinar la moda ya está resuelto, pues localizado el intervalo modal, el representante del intervalo (la marca de clase) nos indicará la moda de la distribución. Ciertamente, es un valor aproximado de la moda, pero se puede hacer mejor.

Por ejemplo, busquemos el precio más frecuente para los automóviles vendidos el último mes por los concesionarios de una determinada marca de coches en una ciudad:

Precio (miles de euros)	Número de Coches
[9-13)	8
[13-16)	12
[16-22)	15
[22-30)	6
[30-50)	5

El intervalo de mayor frecuencia es el [16-22), pero debemos tener en cuenta que abarca más valores de precios que los dos anteriores a él, por lo que no tiene que corresponder a este intervalo el precio que más veces se ha presentado. Vamos a hacer el cálculo de las alturas para determinar el intervalo modal.

Precio (miles de euros)	Número de Coches	ai	hi
[9-13)	8	4	2
[13-16)	12	3	4
[16-22)	15	6	2,5
[22-30)	6	8	0,75
[30-50)	5	20	0,25

Dentro del intervalo modal, parece razonable que nos inclinemos por una moda más cerca de aquel intervalo contiguo de mayor altura. Esto supone que la distancia de la moda a los intervalos contiguos debe ser inversamente proporcional a la altura de éstos.

Si denotamos por a y b las distancias respectivas a los intervalos anterior y posterior al modal tendremos:

a·h_i-1 = b·h_i+1

Aplicando una propiedad de las proporciones tenemos:

a/h_i+1 = b/h_i-1 = (a + b)/(h_i+1 + h_i-1)

De donde obtenemos el valor de a:

a = (h_i+1/(h_i-1 + h_i+1)·a_i

Como la moda es M_o = L_i-1 + a, se tiene que:

M_o = L_i-1 + (h_i+1/(h_1-1 + h_i+1))·a_i

En este ejemplo, la moda resulta:

M_o = 13 + (2,5/(2 + 2,5))·3 = 14,67

El cálculo de la moda con datos agrupados resulta más sencillo si todos los intervalos tienen la misma amplitud, pues en este caso el intervalo modal corresponderá con el de mayor frecuencia.

Con la moda tenemos una nueva medida de síntesis de la información, con interpretación clara y cálculos sencillos, que no se ve afectada por valores extremos.