Ejercicios sobre medidas de concentración y desigualdad

Un par de ejercicios, para entender mejor lo explicado.

Ejercicio 1

La distribución de los salarios de una determinada empresa X es la siguiente:

Categoría	Salarios (euros)	Número de Trabajadores
A	[500-1300)	19
B	[1300-1900)	18
C	[1900-3500)	3

Tenemos que:

1. Obtener el grado de concentración de los salarios.
2. Si esta empresa decide fusionarse  con otra empresa Y, teniendo ésta el mismo nivel de concentración , ¿podemos determinar con esta información el nivel de concentración de los salarios de la empresa resultante de la fusión?
3. Suponiendo que el número de asalariados en cada categoría en la nueva empresa Y es proporcional al de asalariados de la empresa X, determinar el grado de concentración de la entidad X-Y.
4. Si la empresa X-Y decide aumentar los salarios en un 20%, ¿cuál será entonces el nivel de concentración de la nueva distribución de salarios?

1.

Vamos a calcular el índice de concentración de Lorenz:

Li-1 -Li	ni	Ni	pi	xi	xini	Ai	qi
[500-1300)	19	19	0,48	900	17100	17100	0,32
[1300-1900)	18	37	0,93	1600	28800	45900	0,85
[1900-3500)	3	40	1,00	2700	8100	54000	1

I^X_L = ∑(p_i - q_i)/∑p_i = 0,16

Los sumatorios irían desde i = 1 hasta i = 2. En la empresa X existe poca concentración de la masa salarial.

2.

En este caso, no puede determinarse el nivel de concentración de los salarios de la entidad resultante de la fusión, pues aunque ésta sea la misma en ambas empresas, puede ocurrir, por ejemplo, que los niveles de sueldos sean diferentes y al fundirse las empresas se tenga mayor desigualdad; esto es consecuencia de que, como ya hemos visto, la concentración de una población no puede obtenerse como a partir de las subpoblaciones mediante el índice de Lorenz.

3.
Empresa X:

Li-1 -Li	ni
[500-1300)	19
[1300-1900)	18
[1900-3500)	3

Empresa Y:

Li-1 -Li	ni
[500-1300)	19k
[1300-1900)	18k
[1900-3500)	3k

Empresa X-Y:

Li-1 -Li	ni	Ni	pi	xi	xini	Ai	qi
[500-1300)	19(k+1)	19(k+1)	0,47	900,00	17100(k+1)	17100(k+1)	0,32
[1300-1900)	18(k+1)	37(k+1)	0,92	1600,00	28800(k+1)	45900(k+1)	0,85
[1900-3500)	3(k+1)	40(k+1)	1,00	2700,00	8100(k+1)	54000(k+1)	1

Por lo tanto, I^X-Y_L = I^X_L = 0,16. Es decir, el índice de Lorenz no se ve afectado por un cambio de escala en las frecuencias, puesto que no varían ni los p_i ni los q_i.

4.

Si denotamos por xi' a los nuevos salarios de la empresa X-Y, se tendrá: x_i' = (1,2)x_i. Ahora, el nivel de concentración de la empresa X-Y es el mismo que el del apartado anterior, 0,16, puesto que el índice de Lorenz no se ve afectado por un cambio de escala en la variable.

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Ejercicio 2

Las distribuciones del gasto anual en viajes para tres clases de familias A, B y C son las siguientes:

Gasto (euros)	niA	niB	niC
[0-300)	2	1	1
[300-800)	2	4	2
[800-2000)	1	2	3

1. Determinar la desigualdad que soporta o genera cada estrato de gasto de las familias de tipo A.
2. ¿En qué clase de familia se encuentra más desigualmente repartido el gasto?
3. ¿Se podría obtener la desigualdad del gasto en viajes de todas las familias a partir de cada tipo?

1.

Li-1 – Li	niA	niB	niC	xi	xiniA	xiniB	xiniC
[0-300)	2	1	1	150	300	150	150
[300-800)	2	4	2	550	1100	2200	1100
[800-2000)	1	2	3	1400	1400	2800	4200
Totales	5	7	6	2100	2800	5150	5450

• x_A = 2800/5 = 560
• x_B = 5150/7 = 735,7
• x_C = 5450/6 = 908,30

d_iA = (x_A/x_i) - 1

• d_1A = 560/150 - 1 = 2,73
• d_2A = 560/550 - 1 = 0,02
• d_3A = 560/1400 = 0,6

2.

• D_A = ∑(x_A/x - 1)·f_1A = 0,98
• D_B = ∑(x_B/x - 1)·f_1B   = 0,62
• D_C  ∑(x_C/x - 1)·f_1C = 0,88

El gasto en viajes se encuentra más desigualmente repartido en las familias de tipo A, por tener mayor índice de desigualdad.

3.

La desigualdad del gasto en viajes del conjunto de todas las familias se podría obtener a partir de la desigualdad observada dentro de cada clase y de la desigualdad entre los tres tipos. Esto es debido a que el índice de desigualdad es descomponible.