La curva y el índice de Lorenz

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Resulta evidente que la cuota de riqueza q_i correspondiente a la proporción de pi individuos menos ricos nunca superará el valor de p_i. Además, las distancias entre ambas proporciones nos indicarán en que medida nos estamos estamos alejando del reparto igualitario.

Una situación de equidistribución llevaría asociados valores p_i = q_i para cualquier i = 1, 2,...,k. Su representación gráfica en un sistema de ejes cartesianos vendría dada por la diagonal del cuadrado de lado unidad, que recibe el nombre de recta de equidistribución.

No obstante, en general, se tienen proporciones de individuos a las que corresponde una proporción inferior de riqueza q_i, de modo que la representación gráfica de ambos ratios da lugar a una serie de puntos situados por debajo de la diagonal anterior. La línea poligonal que une estos puntos es la representación gráfica de uso generalizado en los estudios de concentración y desigualdad, conocida como curva de Lorenz.

La curva se encuentra tanto más alejada de la diagonal cuanto mayores sean las diferencias pi  - q_i, llegándose a una situación extrema (desigualdad máxima) cuando la riqueza se concentra en un único individuo. En este caso, se tendría  x₁ = x₂ = ... = x_N-1 = 0, y q_i = 0, para i = 1, 2,..., N - 1.

El análisis de la curva de Lorenz permite conocer la situación distributiva de una población, y de hecho, esta representación gráfica constituye un instrumento habitual en los estudios de distribución de la renta.

Además de representar situaciones distributivas, la curva de Lorenz permite construir una medida sintética de nivel de desigualdad basada en las diferencias p_i - q_i. Dado que en cualquier caso se cumple que p_k = q_k (el total de riqueza se encuentra en manos del total de componentes), para resumir la situación, el sumatorio de diferencias abarcará únicamente hasta k  - 1.

La obtención de una medida relativa de la concentración exige dividir la expresión anterior entre el máximo valor que puede alcanzar ∑p_i (sumatorio desde i = 1 hasta i = k - 1). El coeficiente así obtenido es el índice de concentración de Lorenz, dado por la expresión:

I_L = ∑(p_i - q_i)/∑p_i

que adopta valores comprendidos entre 0 y 1. Tanto el sumatorio del numerador como el sumatorio del denominador  van desde i = 1 hasta i = k - 1.

En el caso de que la información aparezca agrupada  en intervalos, las proporciones q_i se obtienen a partir la misma expresión q_i = A_i/A_k, donde A_k es ∑x_in_i y x_i representa la marca de clase del intervalo i-ésimo.

En la próxima entrada, un ejemplo y una aproximación al índice de Gini.