Estadística y combinatoria al alcance de todos

Unos cuantos ejercicios para comprender mejor lo explicado en esta entrada . Ejercicio 1 Tenemos que desarrollar (x + 3) 5 . (x + 3) 5 = C 5,0 x 5 + C 5,1 x 4 ·3 + C 5,2 x 3 ·3 2 + C 5,3 x 2 ·3 3 + C 5,4 x·3 4 + C 5,5 3 5 Desarrollando los números combinatorios: (x + 3) 5 = x 5 + 5·x 4 ·3 + 10x 3 ·9 + 10x 2 ·27 + 5·x·81 + 243 Realizando las multiplicaciones: (x + 3) 5 = x 5 + 15x 4 + 90x 3 + 270x 2 + 405x + 243 Ejercicio 2 Tenemos que desarrollar (x - 3y) 4 . (x - 3y) 4 =C 4,0 x 4 - C 4,1 x 3 (3y) + C 4,2 x 2 (3y)2 - C 4,3 x·(3y) 3 + C 4,4 (3y) 4 Desarrollando números combinatorios y potencias: (x - 3y) 4 = x 4 - 4x 3 ·3y + 6·x 2 ·9y 2 - 4·x·27y 3 + 81y 4 Realizando los productos: (x - 3y) 4 = x 4 - 12xy + 54x 2 y 2 - 108xy 3 + 81y 4

El binomio de Newton es una fórmula que facilita el cálculo de las potencias de un binomio de un modo rápido y sencillo. Así como resulta el cuadrado de un binomio aplicando (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , no lo es tanto, por ejemplo, (a + b) 11 . Observando las sucesivas potencias del binomio (a + b), y expresando sus coeficientes en forma de números combinatorios se tiene: (a + b) 1 = a + b = C 1,0 a + C 1,1 b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = C 2,0 a 2 + C 2,1 ab + C 2,2 b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = C 3,0 a 3 + C 3,1 a 2 b + C 3,2 ab 2 + C 3,3 b 3 ...... Se conjetura que (a + b) n , será, siguiendo el mismo comportamiento que siguen las potencias anteriores: (a + b) n = C n,0 a n + C n,1 a n-1 b + C n,2 a n-2 b 2 + ..,... + C n,n-1 ab n-1 + C n,n b n que es la fórmula del binomio de Newton. Para el desarrollo de (a - b) n , basándose en el desarrollo de (a + b) n , consideramos que (a - b) n = [a + (-b)] n . En este desarrol

Al número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se le llama también número combinatorio, y se escribe C m,n . El número m recibe el nombre de índice  y el número n recibe el nombre de orden. C m,n = m!/[m!(m - n)!] Números combinatorios suplementarios Dos números combinatorios del mismo índice se llaman complementarios cuando la suma de sus órdenes es igual al índice. Los números combinatorios C 15,5 y C 15,10 son complementarios porque la suma de sus órdenes, 10 y 5, es igual a 15. Los números combinatorios complementarios son iguales. Propiedades de los números combinatorios Todo número combinatorio de orden 0 es igual a 1. C m,0 = 1 Todo número combinatorio de orden igual a 1 es igual al índice. C m,1 = m Todo número combinatorio cuyo orden coincide con el índice es igual a 1. C m,m = 1 Dos números combinatorios complementarios son iguales. C m,n = C m,m-n Y por último, siempre cumplen que:

Un ejercicio para comprender mejor lo ya explicado sobre combinaciones con repetición. Ejercicio Una fábrica de caramelos hace bolsitas de 12 caramelos tomándolos de 5 clases diferentes. ¿Cuántas bolsitas se pueden hacer? Hay cinco clases de caramelos, a, b, c, d y e , que se cogen de 12 en 12. En el resultado de elección de las bolsas no importa el orden de los caramelos. Por lo tanto, la solución es: CR 5,12 = (5 + 12 - 1)!/[12!(5 - 1)!] = 16!/(12!4!)  Por lo que: (16·15·14·13·12!)/(12!4!) = 1820 Bueno, creo que ya podemos pasar a estudiar el tema de los números combinatorios. Ya veréis la utilidad que tienen en diversas áreas. 

Las combinaciones con repetición responden a la pregunta: ¿de cuántas maneras se pueden tomar n elementos entre los m de un conjunto, si los elementos se pueden repetir? Un ejemplo de combinaciones con repeticiones es el siguiente: ¿de cuántas maneras se pueden formar grupos de 3 letras con a, b, c y d si en cada grupo se pueden repetir letras? Dos combinaciones con repetición se diferencian en los elementos que intervienen, pero no en el orden de colocación de los mismos : la combinación a, a, b es la misma que a, b, a, puesto que en ellas intervienen los mismos elementos a, a, b. Formación ordenada de las combinaciones con repetición Para formar ordenadamente todas las combinaciones con repetición del ejemplo anterior, puedes elaborar un diagrama de árbol. Hay en total, CR 4,3 = 20 y se lee combinaciones con repetición de 4 elementos tomados de 3 en 3. Para formar las combinaciones con repetición, se han seguido las mismas consideraciones que en el caso

Como siempre, unos cuantos ejercicios sobre lo explicado en esta entrada. Ejercicio 1 ¿De cuántas formas se puede elegir a seis alumnos, entre 15, para representar una obra de teatro (sin importar el papel que desempeñará cada uno)? ¿En cuántas de ellas estará un alumno determinado? El orden de elección importa, lo que importa son las personas que intervendrán en la obra. Son, por tanto, C 15,6 : 15!/[6!(15 - 6!)] = 15!/(6!9!) = (15·14·13·12·11·10·9!)/(6!9!)  El anterior número combinatorio es 5005. Si suponemos que un alumno determinado va a intervenir, quedan 14 alumnos para escoger 5, es decir, C 14,5 : 14!/[5!(14 - 5)!] = 14!/5!9! = 14·13·12·11·10·9!/(5!9!) = 2002 Ejercicio 2 ¿Cuántas mezclas de 3 colores se pueden hacer utilizando 7 colores distintos? En una mezcla, importan los colores que intervienen, pero no el orden de su utilización. Con 7 colores, tomados de 3 en 3, hay C 7,3 mezclas diferentes: 7!/[3!(7 - 3)!] = 7!/(3!4!) = (7·6·5·4

Las combinaciones ordinarias o combinaciones sin repetición responden a la pregunta: ¿de cuántas maneras se pueden tomar n elementos, entre los m de un conjunto, sin que se repita ninguno? Un ejemplo de combinaciones ordinarias es el siguiente: ¿de cuántas maneras pueden escogerse tres personas entre cinco para formar un grupo de estudio? Combinaciones ordinarias de m elementos, tomados de n en n son todos los subconjuntos que se pueden formar tomando n elementos entre los m del conjunto. Dos combinaciones son distintas si se diferencian en algún elemento, pero no en el orden de colocación de los mismos. Así, por ejemplo, la combinación (1, 3, 4) es la misma que la combinación (4,3,1). Sólo importan los elementos que intervienen y no el orden de colocación. Formación de combinaciones ordinarias Para formar de un modo ordenado las combinaciones ordinarias de 1, 2, 3, 4 y 5, tomadas de 3 en 3, podemos elaborar un diagrama de árbol. Podrás comprobar que

Como de costumbre, unos cuantos ejercicios relacionados con el tema explicado en la entrada anterior. Ejercicio 1 De todas las posibles formas de rellenar una quiniela de fútbol, ¿en cuántas aparece nueve veces el 1, tres veces la X y dos veces el 2? En las variaciones con repetición, se calculó de cuántos modos distintos rellenar una quiniela. Se impone ahora la condición de que intervengan 1,1,1,1,1,1,1,1,1, X, X, X, 2, 2. Por lo tanto, hay que calcular PR 14 9,3,2 . PR 14 9,3,2 = 14!/(9!3!2!) = (14·13·12·11·10·9!)/(9!3!2!) Por lo tanto: PR 14 9,3,2 = (14·13·12·11·10)/(3·2·1·2·1) = 20020 Ejercicio 2 El alfabeto Morse utiliza dos signos: • –. ¿Cuántas palabras distintas se pueden escribir utilizando •••• – – – ? Teniendo en cuenta que tanto los puntos como las rayas son indistinguibles, las posibles ordenaciones de estos siete elementos serán: PR 7 4,3 = 7!/4!3! = (7·6·5·4!)/(4!3!) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35 Ejercicio 3 ¿Cuántos números de 6

Las permutaciones con repetición responden a la pregunta: ¿de cuántos modos se pueden ordenar n elementos de un conjunto, en los que el primero se repite a veces, el segundo se repite b veces... y el último se repite k veces, siendo a + b + ...... + k = n ? Un ejemplo de permutaciones con repetición es el siguiente: ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer con las letras f, f, f, g, g ? Vemos que hay 5 letras, de las cuales la primera se repite 3 veces y la segunda 2, siendo 3 + 2 = 5. Las permutaciones con repetición de n elementos, en los que el primero se repite a veces, el segundo b veces,..., y el último k veces, siendo a + b + ... + k = n , son todas las ordenaciones que se pueden hacer con los n elementos. Dos permutaciones con repetición se diferencian en el orden de colocación de sus elementos, puesto que en todas ellas intervienen los mismos elementos. Formación ordenada de permutaciones con repetición Para obtener de un modo ordenado to

Algunos ejercicios con factoriales . Ejercicio 1 Tenemos que simplificar la expresión 12!/10! 12!/10! = 12·11·10!/10! = 12·11 = 132 Tenemos que simplificar la expresión x!/(x + 2)! x!/(x + 2)! = x!/[(x + 2)(x + 1)x!] = 1/[(x + 1)(x + 2)] Ejercicio 2 ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 8 personas en un banco? ¿Y en una mesa circular? En el primer caso, hay que calcular todas las ordenaciones posibles de las 8 personas, es decir, P 8 = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320 En el caso de una mesa circular hay que tener en cuenta que partiendo de una colocación concreta, si todas las personas se trasladan un lugar a la izquierda o a la derecha, se tiene una colocación idéntica a la de la partida, puesto que cada uno tendrá el mismo compañero a su izquierda y a su derecha; sólo ocuparán sillas distintas. Por lo tanto, en este caso, hay que fijar una persona en una posición y ordenar o permutar el resto. P 7 = 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040 Estas permu

Las permutaciones ordinarias o permutaciones sin repetición responden a la siguiente pregunta: ¿de cuántas maneras se pueden ordenar los elementos de un conjunto? Por ejemplo, ¿de cuántas maneras se pueden ordenar las letras a, b, c y d? La única diferencia entre las variaciones y las permutaciones es que en aquéllas se tomaban unos cuantos elementos del conjunto y en las permutaciones intervienen todos los elementos . Por lo tanto, las permutaciones de m elementos se pueden definir como las variaciones de m elementos tomados de m en m: P m =  V m,m Dos permutaciones son distintas si sus elementos están ordenados de modo diferente. Formación ordenada de las permutaciones sin repetición Para obtener de un modo ordenado todas las permutaciones de un conjunto conviene utilizar, al igual que en las variaciones, un diagrama de árbol. Para el ejemplo anterior (las maneras en las que se pueden ordenar las letras a, b, c y d), podemos observar que para la primera

Unos cuantos ejercicios para comprender mejor lo explicado en esta entrada . Ejercicio 1 ¿Cuántos números capicúas hay de 5 cifras? ¿Cuántos son pares? Un número capicúa de 5 cifras es de la forma abcba. Basta, por lo tanto, con elegir las tres primeras cifras entre los 10 dígitos. Teniendo en cuenta que los dígitos se pueden repetir, habrá VR 10,3 = 10 3 = 1000 números capicúas De estos 1000, hay que descontar lo que empiecen por 0, puesto que no serían de 5 cifras. La décima parte de ellos (100 números) empiezan por 0. Quedan entonces 1000 - 100 = 900 números capicúas de 5 cifras. De los 900 son pares los que acaban en 2, 4, 6 y 8. (No pueden acabar en 0 puesto que no pueden empezar en 0). Si acaban en 2, han de empezar por 2: 2aba2. Tenemos que determinar los dígitos a y b. Hay VR 10,2 = 100 capicúas que terminan en 2. Por el mismo motivo, hay 100 que terminan en 4, otros 100 que terminan en 6 y otros 100 que terminan en 8. En total 400. Ej

Las variaciones con repetición responden a la pregunta: ¿de cuántas maneras se pueden ordenar n elementos, pudiéndose repetir, de un conjunto de m elementos? Se trata, por ejemplo, de formar los números de tres cifras que se pueden escribir con los dígitos 5, 6, 7, 8 y 9, si se pueden repetir las cifras. Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n , son todas las ordenaciones que se pueden hacer tomando n elementos entre los m dados, pudiéndose repetir los elementos. Dos variaciones con repetición son diferentes si: Tienen distintos elementos. Teniendo los mismos elementos, su orden de colocación es distinto. Formación de las variaciones con repetición Para formar todos los números de tres cifras que se pueden formar con los dígitos 5, 6, 7, 8 y 9. Podemos observar que para cada cifra hay cuatro opciones (ya que cada dígito se puede repetir). En este caso, el número de variaciones con repetición es 4·4·4 = 64. Número de variaciones con repeti

Unos cuantos ejercicios sobre lo explicado en entradas anteriores. Ejercicio 1 ¿De cuántas maneras se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y secretario de una comunidad de vecinos si hay 15 candidatos, y una persona no puede desempeñar más de un cargo? Para ocupar uno cualquiera de los cargos, por ejemplo, el de presidente, se puede elegir entre 15 personas. Una vez elegido, quedan 14 personas para el siguiente cargo, y una vez elegido éste, quedan 13 para el último cargo. Por lo tanto, hay: V 15,3 = 15·14·13 = 2730 formas distintas de efectuar el reparto de cargos. Ejercicio 2 ¿Cuántos números de 4 cifras distintas y menores que 6500 se pueden forman con los dígitos 2, 4, 6, 7 y 8? Los números menores que 6500 son los que empiezan por 2, 4, 62 y 64. Si empiezan por 2 , los tres lugares restantes hay que ocuparlos con tres números, a escoger entre 4, 6, 7 y 8. 2___: El primero puede ser cualquiera de los cuatro, el segundo cualq

Las variaciones ordinarias o variaciones sin repetición responden a la pregunta: ¿ de cuántas maneras se pueden ordenar n elementos de un conjunto de m elementos sin que repita ninguno ? Por ejemplo, ¿cuántos números de tres cifras, todas ellas distintas, se puede formar con los digitos 5, 6, 7 y 8? Esta condición la cumplen 578, 875, 675, etc. Se dice que cada uno de ellos es una variación Definición Variaciones ordinarias o variaciones con repetición  de m elementos tomados de n en n , son todas las ordenaciones que se pueden hacer tomando n elementos entre los m del conjunto, sin repetir ninguno. Dos variaciones son diferentes si: Tienen distintos elementos. Teniendo los mismos elementos, su orden de colocación es distinto. Si los elementos se toman de uno en uno, las variaciones se llaman unitarias, si se toman de dos en dos, binarias, si se toman de tres en tres, ternarias... Formación ordenada de las variaciones sin repetición Es conveniente

Demostrar la imposibilidad de solución de un problema de combinatoria no es tarea nada fácil. Hay, de hecho, bastantes problemas sin resolver, y otros que se han resuelto hace relativamente poco tiempo, como el problema referente a la posibilidad de combinar las regiones de un mapa plano con solo cuatro colores. Euler planteó, en 1779, el siguiente problema: con 36 oficiales de seis graduaciones distintas y seis regimientos, ¿podemos hacer una formación cuadrada de seis filas y seis columnas sin que haya en una misma fila o en una misma columna dos oficiales de la misma graduación o el mismo regimiento? La respuesta es NO. Por el interés práctico que encierra la combinatoria, se puede suponer que debió suscitar la curiosidad del hombre desde hace mucho tiempo. Podemos destacar el libro I Ching ( hacia el 2300 a. de C.) en el que aparecen los famosos cuadrados mágicos, que se asemejan a ciertos juegos actuales, como el Sudoku. El juego consistía en colocar diversos números en

Muy buenas de nuevo. Para completar los blogs dedicados al estudio de Economía y Finanzas, he decidido realizar éste relacionado con el tema de Estadística, Combinatoria y Probabilidad. Espero que os resulte útil para vuestros estudios, trabajo; o que simplemente os parezca interesante para aprender cosas nuevas. Un saludo y gracias