Permutaciones con repetición

Las permutaciones con repetición responden a la pregunta: ¿de cuántos modos se pueden ordenar n elementos de un conjunto, en los que el primero se repite a veces, el segundo se repite b veces... y el último se repite k veces, siendo a + b + ...... + k = n?

Un ejemplo de permutaciones con repetición es el siguiente:

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer con las letras f, f, f, g, g? Vemos que hay 5 letras, de las cuales la primera se repite 3 veces y la segunda 2, siendo 3 + 2 = 5.

Las permutaciones con repetición de n elementos, en los que el primero se repite a veces, el segundo b veces,..., y el último k veces, siendo a + b + ... + k = n, son todas las ordenaciones que se pueden hacer con los n elementos.

Dos permutaciones con repetición se diferencian en el orden de colocación de sus elementos, puesto que en todas ellas intervienen los mismos elementos.

Formación ordenada de permutaciones con repetición

Para obtener de un modo ordenado todas las permutaciones con repetición, se utiliza, como en los casos anteriores, el diagrama del árbol.

Puedes comprobar que para el ejemplo anterior (f, f, f, g, g), hay en total 10 combinaciones. Este resultado se escribe:

PR₅^3,2 = P₅/P₃·P₂ = 5!/3!2! = 10

Número de permutaciones con repetición

La fórmula general con la que se calcula el número de permutaciones con repetición de n elementos en los que el primero se repite a veces, el segundo b veces,...., el último k veces y a + b +... + k = n, es:

PR_n^a,b,...,k = P_n/(a!b!....k!) = n!/(a!b!....k!)