Cálculo de combinaciones ordinarias

Como siempre, unos cuantos ejercicios sobre lo explicado en esta entrada.

Ejercicio 1

¿De cuántas formas se puede elegir a seis alumnos, entre 15, para representar una obra de teatro (sin importar el papel que desempeñará cada uno)? ¿En cuántas de ellas estará un alumno determinado?

El orden de elección importa, lo que importa son las personas que intervendrán en la obra. Son, por tanto, C_15,6:

15!/[6!(15 - 6!)] = 15!/(6!9!) = (15·14·13·12·11·10·9!)/(6!9!) 

El anterior número combinatorio es 5005.

Si suponemos que un alumno determinado va a intervenir, quedan 14 alumnos para escoger 5, es decir, C_14,5:

14!/[5!(14 - 5)!] = 14!/5!9! = 14·13·12·11·10·9!/(5!9!) = 2002

Ejercicio 2

¿Cuántas mezclas de 3 colores se pueden hacer utilizando 7 colores distintos?

En una mezcla, importan los colores que intervienen, pero no el orden de su utilización. Con 7 colores, tomados de 3 en 3, hay C_7,3 mezclas diferentes:

7!/[3!(7 - 3)!] = 7!/(3!4!) = (7·6·5·4!)/(3!4!) = 35

Ejercicio 3

¿De cuántas maneras se puede elegir un equipo formado por 3 mujeres y 2 varones de un grupo de 5 mujeres y 4 varones?

La elección de tres mujeres entre 5 se puede hacer de C_5,3 formas diferentes:

5!/[3!(5 - 3)!] = 5!/(3!2!) = (5·4·3!)/(3!2!) = 10

Para cada una de estas 10 maneras de elegir a las mujeres, la elección de los varones entre cuatro se puede hacer de C_4,2 formas diferentes:

4!/[2!(4! - 2!)] = 4!/(2!2!) = (4·3·2!)/(2!2!) = 6

En total hay:

10·6 = 60 formas de elegir el equipo