Cálculo con factoriales

Algunos ejercicios con factoriales.

Ejercicio 1

Tenemos que simplificar la expresión 12!/10!

12!/10! = 12·11·10!/10! = 12·11 = 132

Tenemos que simplificar la expresión x!/(x + 2)!

x!/(x + 2)! = x!/[(x + 2)(x + 1)x!] = 1/[(x + 1)(x + 2)]

Ejercicio 2

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 8 personas en un banco? ¿Y en una mesa circular?

En el primer caso, hay que calcular todas las ordenaciones posibles de las 8 personas, es decir,

P₈ = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320

En el caso de una mesa circular hay que tener en cuenta que partiendo de una colocación concreta, si todas las personas se trasladan un lugar a la izquierda o a la derecha, se tiene una colocación idéntica a la de la partida, puesto que cada uno tendrá el mismo compañero a su izquierda y a su derecha; sólo ocuparán sillas distintas. Por lo tanto, en este caso, hay que fijar una persona en una posición y ordenar o permutar el resto.

P₇ = 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040

Estas permutaciones se llaman circulares. Las permutaciones circulares de n elementos coinciden con las permutaciones de n - 1 elementos.

Ejercicio 3

Tenemos que calcular la suma de todos los números de cinco cifras que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5.

Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 se pueden formar P₅ = 5! = 120 números.

Para obtener su suma, hay que imaginarlos colocados en columna y calcular cuántas veces aparece cada dígito en cada lugar (unidades, decenas, centenas ...).

Cada dígito aparece en cada lugar P₅/5 = 120/5 = 24 veces.

Por lo tanto, la suma de todos los números que ocupan el lugar de las unidades será:

24·1 + 24·2 + 24·3 + 24·4 + 24·5 = 360

La suma de los números que ocupan el resto de los lugares es la misma. Por lo tanto, su suma será:

360 + 360·10 + 360·100 + 360·1000 + 360·10000 = 3999960

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