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Potencia de un binomio. El binomio de Newton

El binomio de Newton es una fórmula que facilita el cálculo de las potencias de un binomio de un modo rápido y sencillo. Así como resulta el cuadrado de un binomio aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, no lo es tanto, por ejemplo, (a + b)11.

Observando las sucesivas potencias del binomio (a + b), y expresando sus coeficientes en forma de números combinatorios se tiene:

  1. (a + b)1 = a + b = C1,0a + C1,1b
  2. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = C2,0a2 + C2,1ab + C2,2b2
  3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = C3,0a3 + C3,1a2b + C3,2ab2 + C3,3b3
......

Se conjetura que (a + b)n, será, siguiendo el mismo comportamiento que siguen las potencias anteriores:

(a + b)n = Cn,0an + Cn,1an-1b + Cn,2an-2b2 + ..,... + Cn,n-1abn-1 + Cn,nbn

que es la fórmula del binomio de Newton.

Para el desarrollo de (a - b)n, basándose en el desarrollo de (a + b)n, consideramos que (a - b)n = [a + (-b)]n. En este desarrollo, los términos que ocupan lugares pares son negativos y los que ocupan lugares impares positivos.

Consideraciones sobre el desarrollo de (a + b)n

  1. Para cada exponente n, hay n + 1 términos en el desarrollo.
  2. La suma de los exponentes de a y b de cada término es n.
  3. Los exponentes de van decreciendo en una unidad en cada término, desde n hasta cero (an aparece en el primer término del desarrollo y a0 en el último). Los exponentes de b van creciendo, del mismo modo, de 0 hasta n.
  4. El coeficiente de cualquier término es Cn,j, donde n-j es el coeficiente de a y j el de b.
  5. Los coeficientes de términos equidistantes de los extremos son iguales
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