Cálculo de permutaciones con repetición

Como de costumbre, unos cuantos ejercicios relacionados con el tema explicado en la entrada anterior.

Ejercicio 1

De todas las posibles formas de rellenar una quiniela de fútbol, ¿en cuántas aparece nueve veces el 1, tres veces la X y dos veces el 2?

En las variaciones con repetición, se calculó de cuántos modos distintos rellenar una quiniela. Se impone ahora la condición de que intervengan 1,1,1,1,1,1,1,1,1, X, X, X, 2, 2. Por lo tanto, hay que calcular PR₁₄^9,3,2.

PR₁₄^9,3,2 = 14!/(9!3!2!) = (14·13·12·11·10·9!)/(9!3!2!)

Por lo tanto:

PR₁₄^9,3,2 = (14·13·12·11·10)/(3·2·1·2·1) = 20020

Ejercicio 2

El alfabeto Morse utiliza dos signos: • –. ¿Cuántas palabras distintas se pueden escribir utilizando •••• – – – ?

Teniendo en cuenta que tanto los puntos como las rayas son indistinguibles, las posibles ordenaciones de estos siete elementos serán:

PR₇^4,3 = 7!/4!3! = (7·6·5·4!)/(4!3!) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

Ejercicio 3

¿Cuántos números de 6 cifras significativas se pueden escribir con los dígitos 0, 0, 0, 3, 3 y 8?

Se trata de ordenar los dígitos anteriores de todas las formas posibles, prescindiendo de los que empiecen por 0. Pueden empezar por 3 o por 8.

Si empiezan por 3, serán PR53,1,1 puesto que quedan los elementos 0, 0, 0, 3, 8 por ordenar.

PR₅^3,1,1 = 5!/3!1!1! = (5·4·3!)/(3!1!1!) = 20

Si empiezan por 8, serán PR₅^3,2 puesto que quedan los elementos 0, 0, 0, 3, 3 por ordenar:

PR₅^3,2 = 5!/3!2! = (5·4·3!)/(3!2!) = 10  

Por lo tanto, en total habrá 20 + 10 = 30 números