Variaciones ordinarias o variaciones sin repetición

Las variaciones ordinarias o variaciones sin repetición responden a la pregunta: ¿de cuántas maneras se pueden ordenar n elementos de un conjunto de m elementos sin que repita ninguno?

Por ejemplo, ¿cuántos números de tres cifras, todas ellas distintas, se puede formar con los digitos 5, 6, 7 y 8?

Esta condición la cumplen 578, 875, 675, etc.

Se dice que cada uno de ellos es una variación

Definición

Variaciones ordinarias o variaciones con repetición  de m elementos tomados de n en n, son todas las ordenaciones que se pueden hacer tomando n elementos entre los m del conjunto, sin repetir ninguno.

Dos variaciones son diferentes si:

1. Tienen distintos elementos.
2. Teniendo los mismos elementos, su orden de colocación es distinto.

Si los elementos se toman de uno en uno, las variaciones se llaman unitarias, si se toman de dos en dos, binarias, si se toman de tres en tres, ternarias...

Formación ordenada de las variaciones sin repetición

Es conveniente utilizar algún método que proporcione, de un modo ordenado, todas las variaciones ordinarias.

Generalmente, se utiliza el diagrama de árbol. 

Vamos a calcular cuántos números de tres cifras, todas ellas distintas, se pueden formar con los dígitos 5, 6, 7 y 8.

Date cuenta que para la primera cifra hay 4 posibilidades, para la segunda cifra sólo puedes elegir entre 3 (tres posibilidades), ya que el número escogido para la primera cifra no se puede repetir, la tercera cifra sólo tiene dos posibilidades. Por lo tanto, el total de números obtenidos es:

4·3·2 = 24

Número de variaciones sin repeticiones

Para formar las variaciones de un conjunto de m elementos  tomados de n en n, el primer elemento se puede tomar entre los m iniciales, el segundo se puede tomar entre los m - 1 que quedan, el tercero se puede tomar entre los m - 2 que quedan... el n-ésimo elemento se puede tomar entre los m - (n - 1) restantes. Por consiguiente, el número de variaciones n-arias será para un conjunto de m elementos:

V_m,n = m·(m - 1)·(m - 2)·(m - 3).....(m - n + 1)