Estadística y combinatoria al alcance de todos

Como consecuencia de la propia dinámica de los sistemas económicos, las magnitudes cuya evolución estudiamos se ven afectadas a menudo por fluctuaciones de carácter cíclico. En general, se trata de movimientos oscilatorios no exactamente periódicos y cuya identificación resulta a veces compleja debido a la presencia de perturbaciones aleatorias y a la posible existencia de varios ciclos superpuestos. En el ejemplo considerado, es posible suponer que como consecuencia del retroceso relativo en la actividad mundial y su efecto sobre la economía española, se manifestase con claridad un ciclo alcista de precios desde finales de los años setenta. El ciclo económico suele ser descrito como una sucesión de fases de auge y depresión. La obtención de modelos simples que sean capaces de explicar los ciclos económicos no es sencilla, ya que aun admitiendo la alternancia de fases de auge y depresión, difícilmente puede llegarse a generalizaciones aceptables. Partiendo de la serie ini

Esta entrada es continuación de la entrada anterior. La definición de los índices de variación estacional (repasa la entrada anterior, por si te resulta confuso el término) permite una interpretación de los mismos como proporción o porcentaje en el que la estacionalidad actúa sobre las desviaciones, haciendo que éstas se desvíen (por exceso o por defecto) de su tendencia. Supongamos que hemos llegado a cuantificar sobre la serie de precios índices de variación estacional del 100,7;130,8; 91 y 77,5% para las estaciones de primavera, verano, otoño e invierno, respectivamente. Estos resultados nos informan de que la componente estacional está aumentando los precios un 30,8% en verano, en otoño e invierno el sesgo es negativo (de un 9% y de un 22,5% respectivamente) y no existe prácticamente efecto estacional en primavera. El método expuesto resulta adecuado bajo el supuesto de estacionalidad estable, esto es, si admitimos que los coeficientes de estacionalidad no se ven afec

El movimiento general o tendencia de una variable económica sólo podrá ser apreciado con claridad si conseguimos eliminar las fluctuaciones presentas en la serie que encubren la evolución real del fenómeno. De ahí el interés de análisis de la estacionalidad, que afecta a la casi totalidad de las series económicas, resultando incluso frecuente la aparición de varios movimientos estacionales de diferentes amplitudes que se presentan superpuestos, y en ocasiones, resulta difícil de identificar. En concreto, si nos suministran las tasas de variación precios de hostelería entre los meses de mayo y junio, deberíamos utilizar esta información con mucha prudencia por hallarse afectada de la estacionalidad que marca el inicio de la temporada alta. Lo mismo sucedería si la información correspondiese a septiembre/octubre, con la diferencia de que el sesgo estacional actúa ahora en sentido contrario. Una forma de solucionar problemas como los anteriormente planteados sería comparar la va

La aproximación de la tendencia se efectúa en general mediante el ajuste mínimo cuadrático a la nube de puntos de la serie, supuestos sus valores Y en función del tiempo t. Este método suele resultar sencillo, dado que la variable t toma valores enteros consecutivos y la frecuencia considerada es unitaria. Sin embargo, se debe destacar de nuevo que, aunque la técnica empleada sea coincidente con una regresión de Y sobre t, el planteamiento es distinto, ya que no estamos analizando la capacidad explicativa del tiempo. El supuesto más habitual es el de la tendencia lineal, si bien para ciertas magnitudes económicas su propio carácter (o representación gráfica) aconseja ajuste de tipo parabólico, exponencial... Un caso de interés es el de la curva logística, adecuada cuando se trata de estimar el crecimiento de poblaciones, el desarrollo industrial, la venta de productos nuevos en el mercado... Ejemplo de curva logística Esta curva expresa una marcha general ascend

Cuando los datos oscilan en torno a un valor dado, la ecuación general explicada en la entrada anterior podría adoptar la expresión Y = a, hipótesis que se aplicará en los fenómenos en los que es presumible una persistencia del valor a. Así, por ejemplo, el número de clientes que permanecen alojados en un establecimiento hostelero se mantendrá bastante estable, y nunca por encima de su capacidad máxima, existiendo diferentes posibilidades para calcular esa tendencia. Si adoptando el criterio de mínimos cuadrados utilizamos toda la información disponible, minimizando la suma de las diferencias cuadráticas de los valores observados al supuesto, tendríamos la expresión Σ(y t - a) 2 en la que aplicada la condición del mínimo se obtiene a = y . El cálculo de un valor único para resumir la serie no resulta válido si ésta presenta tendencia o sufre variaciones de importancia a lo largo de su evolución. En estos casos, emplearemos el método de las medias móviles , cuyo plantea

Como ya se ha explicado, el objetivo del análisis clásico de series temporales consiste en separar sus movimientos sistemáticos de las fluctuaciones irregulares. Es indudable que el componente central de una serie es la tendencia que marca las pautas evolutivas de la variable, y cuya determinación puede ser efectuada mediante distintos procedimientos, tanto gráficos como analíticos. En cualquier caso, debemos tener presente que el concepto largo plazo al que hemos aludido en la definición de tendencia es ambiguo, y puede suceder que nos encontremos con un ciclo de la actividad económica que oculte el verdadero valor de la tendencia. Los métodos gráficos son utilizados con bastante generalidad como primera aproximación a la tendencia de una serie. Los más habituales consisten en trazar una línea que suavice el perfil inicial de la serie o la construcción de poligonales que unan puntos máximos y mínimos, acotando así una banda en la que se halla comprendida la tendencia. Un

Esta entrada es continuación de la entrada anterior. Supongamos que hemos trabajado en la identificación de los distintos componentes de la serie de precios hoteleros. En este caso, podríamos distinguir, probablemente: Un movimiento continuado de ascenso, debido a la depreciación paulatina de la moneda y al aumento generalizado de los precios del sector servicios. Un movimiento repetido cada año, de gradual aumento a partir del mes de junio y posterior descenso del precio en la época que sigue al periodo de vacaciones. Oscilaciones ascendentes que se inician con la crisis económica coincidiendo sus máximos con el boom turístico de la zona, y otras descendentes que podrían ser consecuencia de una reconversión de la industria agroalimentaria, de gran peso en la zona. Un descenso brusco debido a una temporada climatológicamente adversa, o un alza repentina como al cierre de uno de los mayores complejos hoteleros, ventajoso para sus competidores. Existen diferentes hipótesis

La aproximación inicial de un estudio temporal se efectuará mediante el análisis de sus datos numéricos o del gráfico (habitualmente, en un diagrama cartesiano) que los representa. De este modo es posible apreciar las características más sobresalientes del fenómeno en estudio, aunque en etapas posteriores nos interesará profundizar más en los diferentes componentes de éste. El análisis clásico de series temporales consiste en identificar en las mismas distintos componentes que pueden ser aislados y analizados separadamente. Este mecanismo es equiparable a una disección estadística que no constituye un fin en si misma, sino que exige el desarrollo de nuevos instrumentos de análisis y sirve de impulso a otras ramas de investigación como son el análisis de coyuntura. En una primera aproximación, el examen de cualquier serie cronológica suficientemente amplia nos permitirá apreciar un movimiento de carácter general, que denominaremos tendencia y designamos por T t o T ij

La comprensión de gran parte de los fenómenos de interés en economía  se verá notablemente facilitada si disponemos de información histórica sobre los mismos. En efecto, en el ámbito económico-empresarial aparece frecuentemente la necesidad de adoptar decisiones que se hallan condicionadas por el valor futuro de cierta característica. Éste sería el caso si, por ejemplo, queremos elegir una opción entre varias alternativas posibles de inversión cuya rentabilidad futura debemos estimar o si decidimos adquirir un terreno bajo el supuesto de que la población  (y en consecuencia los precios del suelo) aumentarán en determinada zona. En cualquiera de estos supuestos la decisión no se basará solamente en los datos actuales de la variable sino que se fundamentará también en sus valores históricos, así como en otras técnicas (opinión de expertos, análisis de relación con otras variables...). Podemos imaginar que nos hemos desplazado a la zona costera en la que vamos a analizar la

Ejercicio 1 Disponemos de los siguientes datos para 6 familias sobre gasto en libros, número de miembros y renta. Gasto anual Número de Miembros Renta anual (miles de euros) 20 1 1 30 2 2 45 3 3 35 2 2,5 30 2 1,8 40 2 3,2 Obtener los parámetros de la función lineal que explica el gasto familiar en libros a partir del número de miembros y la renta. Estudiar la bondad del modelo anterior. Solución 1. Las ecuaciones normales del plano de regresión son: b 0 N + b 1 ΣX i1 + b 2 ΣX i2 = ΣY i b 0 ΣX 2 i1 + b 2 ΣX i1 X i2 = ΣY i X i1 b 0 ΣX i2 + b 1 ΣX i1 X i2 + b 2 ΣX 2 i2 = ΣY i X i2 En este caso tenemos: Y X 1 X 2 X 2 1 X 1 X 2 YX 1 X 2 2 YX 2 20 1 1 1 1 20 1 20 30 2 2 4 4 60 4 60 45 3 3 9 9 135 9 135

El desarrollo efectuado a lo largo de este tema para el caso de dos únicos regresores sería ampliable a la situación más general con mayor número de variables independientes, sin que ello supusiera ningún problema conceptual adicional. Nos podemos preguntar cuál será el mayor número de variables explicativas a tener en cuenta. Evidentemente, los beneficios o las ventas de una empresa vienen influidos por un gran número de factores: precios, costes salariales, nivel de endeudamiento, volumen de recursos propios, etc. Podríamos caer en la tentación de considerar modelos con un montón de variables explicativas, actitud que vendría justificada por el afán de reducir el error, la parte de los beneficios no explicada por el modelo, o equivalentemente, por conseguir coeficientes de determinación tan próximos a 1 como sea posible. Hay numerosas razones, tanto de naturaleza estadística como económica que desaconsejan esta actitud. Los modelos tratan de ser simplificaciones de la r

Hasta el momento hemos desarrollado todo el análisis de regresión considerando únicamente caracteres cuantitativos. Con frecuencia se dispone información también sobre caracteres de naturaleza cualitativa que también tienen influencia sobre la variable dependiente y cuyo efecto debería ser tenido en cuenta. Así, por ejemplo, las ventas diarias de la cafetería situada en el litoral dependerán de que se trate de un día laborable o festivo; los salarios pueden depender de tener cierta cualificación o habilidad... En las situaciones mencionadas, los atributos considerados tienen dos modalidades, que podríamos identificar con los valores 0 y 1 de una variable construida de forma artificial. Este tipo de variables se denominan ficticias y podrán ser incluidas en el modelo de regresión del mismo modo que cualquier otra variable numérica. Supongamos que se desea hacer un estudio sobre los precios de los alquileres de apartamentos de una ciudad. Además de tener en cuenta variables cua

El hecho de que en el análisis de regresión múltiple se consideren modelos explicativos en los que intervienen dos o más causas da lugar a que puedan confundirse las contribuciones de cada una de ellas a la explicación del efecto o variable dependiente. De ahí que distingamos tres tipos de coeficientes de determinación asociados al análisis de regresión múltiple. Comenzaremos introduciendo el coeficiente de determinación múltiple como una generalización del ya explicado para la regresión simple . Se trata de una medida para alcanzar el grado de explicación alcanzado (a través del modelo lineal) gracias a la aportación de todas las variables explicativas consideradas conjuntamente. Mediante un desarrollo análogo al efectuado en entradas anteriores, podemos descomponer la variación total de Y como la suma de la parte explicada por el plano de regresión y la parte residual que queda sin explicar: S 2 y = S 2 y t + S 2 e donde ahora los valores teóricos son los obtenidos

El objetivo de la regresión lineal múltiple será construir un modelo explicativo de una variable. Y en términos de un conjunto de variables causales, que sin pérdida de generalidad, reduciremos a dos: X 1 y X 2 . Nuestro planteamiento en este apartado constituye una generalización del efectuado al introducir el análisis de regresión simple , es decir, obtener el valor promedio de la variable dependiente Y condicionado a ciertos comportamientos de las variables explicativas X 1 y X 2 . Ello dará lugar a la definición de la función de regresión mínimo cuadrática Y = f(X 1 , X 2 ) como aquella que asigna como aproximación del verdadero valor de Y cuando X 1 = x i1 y X 2 = x i2 la media condicionada de las observaciones y j : y /x i1 ,x i2 . Si introducimos el supuesto de que las medias condicionadas se encuentran sobre un plano, es decir, que la contribución de cada variable independiente a la explicación de Y es de tipo lineal, la función de regresión será de la forma:

Tanto en economía como en las ciencias sociales en general nos encontramos con qué difícilmente puede aislarse el comportamiento de dos variables del resto, puesto que todo tiene a depender (en mayor o menor grado) de todo. Esta consideración nos lleva a efectuar un planteamiento general de las técnicas de regresión y correlación que permita tratar situaciones en las que haya más de dos variables implicadas. Así, por ejemplo, el consumo no sólo dependerá de la renta sino también de los precios y los gustos; las ventas de una empresa estarán relacionadas no sólo con la inversión en ventas sino también con la política de precios. De hecho, parte del error en que podríamos incurrir al hacer estimaciones de las ventas a partir de exclusivamente el gasto en I + D + i se deba a la omisión de la incorporación de estas nuevas variables en el proceso de modelización. Por ello, su incorporación al modelo deberá suponer una mejora sustancial en el nivel de explicación del comportamiento del

Como siempre, un par de ejercicios para comprender mejor lo explicado. Ejercicio 1 Un inversor compra acciones de una empresa en dos ocasiones, pagando 1800 euros por 150 acciones y en el otro 2400 euros por 200 acciones. Si decide comprar otras 180 acciones de esa empresa, ¿qué provisión de fondos deberá calcular? Solución Debemos calcular cuánto le costarán las 180 acciones. Para ello obtenemos la recta de interpolación a partir de los datos disponibles, representados por los pares (150, 1800) y (200, 2400). La expresión interpolatriz viene dada en este caso por y = 1800 + (2400 - 1800)(x - 150)/(200 - 150); es decir y = 12x. El importe de las 180 acciones se calcula sustituyendo x = 180 en la recta de interpolación, con lo que se tiene y = 2160 euros. Luego el capital necesario para efectuar la inversión asciende a 1800 + 2400 + 2160 = 6360 euros.  Ejercicio 2 La superficie (X en m 2 ) y el precio del alquiler (Y en cientos de euros) de los pisos que u