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Ejercicios sobre regresión múltiple

Ejercicio 1

Disponemos de los siguientes datos para 6 familias sobre gasto en libros, número de miembros y renta.

Gasto anual Número de
Miembros		 Renta anual
(miles de euros)
20 1 1
30 2 2
45 3 3
35 2 2,5
30 2 1,8
40 2 3,2
  1. Obtener los parámetros de la función lineal que explica el gasto familiar en libros a partir del número de miembros y la renta.
  2. Estudiar la bondad del modelo anterior.
Solución
1.
Las ecuaciones normales del plano de regresión son:
  1. b0N + b1ΣXi1 + b2ΣXi2 = ΣYi
  2. b0ΣX2i1 + b2ΣXi1Xi2 = ΣYiXi1
  3. b0ΣXi2 + b1ΣXi1Xi2 + b2ΣX2i2 = ΣYiXi2
En este caso tenemos:

Y
X1
X2
X21
X1X2
YX1
X22
YX2
20 1 1
1
1
20
1
20
30 2 2
4
4
60
4
60
45 3 3
9
9
135
9
135
35 2 2,5
4
5
70
6,25
87,5
30 2 1,8
4
3,6
60
3,24
54
40 2 3,2
4
6,4
80
10,24
128

Y tenemos:

ΣY = 200; ΣX1 = 12; ΣX2 = 13,5; ΣX21 = 26; ΣX1X2 = 29; ΣYX1 = 425; ΣX22 = 33,73; ΣYX2 = 484,5

Por lo tanto:
  1. b06 + b112 + b213,5 = 200
  2. b012 + b126 + b229 = 425
  3. b013,5 + b129 + b233,73 = 484,5
El plano de regresión que explica el gasto familiar en libros a partir del número de miembros y renta es:

Y = 6,58 + 5,49X1 + 7.01X2

2.

Estudiaremos la bondad del modelo mediante el coeficiente de determinación múltiple: R2 = S2Yt/S2Y.

Se tiene: S2Y = 63,89; S2Yt = Σ(yit - y)2fi = 63,18

Luego, R2 = 0,989. El 98,9% de la varianza del gasto en libros viene explicada por el número de miembros y por la renta.

Ejercicio 2

El plano de regresión que explica el sueldo anual (en miles de euros) a partir del expediente académico (X1) y de la edad (X2) de un grupo de amigos resulta ser: Y = -4,29 + 0,29X1 + 0,24X2. Además, disponemos de la siguiente información: R2YX1X2 = 0,95; R2YX1 = 0,69; R2YX2 = 0,79.
  1. ¿Qué variación cabe esperar en el sueldo ante un aumento de un punto en el expediente
  2. Calcular e interpretar los coeficientes de determinación parcial.
1.

El cambio experimentado por el sueldo (Y) ante un aumento unitario del expediente (X1), viene dado por ∂Y/∂X1 que es 0,29; es decir, cuando el expediente académico aumenta un punto, el sueldo experimenta un aumenta de 290 euros.
2.
El coeficiente de determinación parcial entre el sueldo y la edad, una vez eliminada la influencia del expediente es:

R2(Y,X2/X1) = (R2YX1X2 - R2YX1)/(1 - R2YX1) = (0,95 - 0,69)/(1 - 0,69) = 0,84.

Luego, el 84% de la variación residual del modelo de regresión simple del sueldo sobre el expediente es explicada por la inclusión de la variable edad.

El coeficiente de determinación parcial entre el sueldo y el expediente, una vez eliminada la influencia de la edad es:

R2(Y,X1/X2) = (R2YX1X2 - R2YX2)/(1 - R2YX2) = (0,95 - 0,79)/(1 - 0,79) = 0,76

Luego, el 76% de variación residual del modelo de regresión simple del sueldo sobre la edad es explicada por la inclusión de la variable expediente.
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