Regresión lineal múltiple

El objetivo de la regresión lineal múltiple será construir un modelo explicativo de una variable. Y en términos de un conjunto de variables causales, que sin pérdida de generalidad, reduciremos a dos: X₁ y X₂.

Nuestro planteamiento en este apartado constituye una generalización del efectuado al introducir el análisis de regresión simple, es decir, obtener el valor promedio de la variable dependiente Y condicionado a ciertos comportamientos de las variables explicativas X₁ y X₂.

Ello dará lugar a la definición de la función de regresión mínimo cuadrática Y = f(X₁, X₂) como aquella que asigna como aproximación del verdadero valor de Y cuando X₁ = x_i1 y X₂ = x_i2 la media condicionada de las observaciones y_j : y/x_i1,x_i2.

Si introducimos el supuesto de que las medias condicionadas se encuentran sobre un plano, es decir, que la contribución de cada variable independiente a la explicación de Y es de tipo lineal, la función de regresión será de la forma:

Y_t = f(X₁, X₂) = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂

De aquí en adelante nos centraremos en este tipo de funciones, ya sea porque la regresión es lineal o porque mediante una transformación de las variables es reducible a lineal (como ocurre con los modelos de tipo potencial Y = aX^b₁X^c₂.

Continuando con el problema planteado en la entrada anterior, supongamos que delimitamos nuestro estudio a las 9 mayores empresas del sector de la construcción, planteándose la explicación de sus beneficios netos (B) en términos del activo total (A) y la plantilla (P) a través de un modelo lineal:

B = b₀ + b₁A + b₂P

Empresas	Activo	Plantilla	Beneficio
A	230931,8	15563	7503,23
B	134689	8466	5171
C	133353	4461	2748
D	110632	16828	3612
E	72684,82	5863	2170,89
F	75008,01	4350	2451,14
G	88294	8692	2532
H	52235,11	9137	2518,76
I	66002,89	3237	2267,58

Las variables activo y beneficio vienen expresadas en miles de euros.

Para calcular los parámetros b₀, b₁ y b₂, que determinan la ecuación del plano de regresión a partir de un conjunto de N observaciones, recurriremos a la técnica de ajuste por mínimos cuadrados. Los errores cometidos al aproximar los valores observado y_i por los teóricos y_ti, vendrán dados por las desviaciones entre ambos:

e_i = y_i - y_ti = y_i - (b₀ + b₁x_i1 + b₂x_i2)

Por tanto, el valor de los parámetros será el resultado de minimizar:

S(b₀, b₁, b₂) = Σe_i² = Σ(y_i - b₀ - b₁x_i1 - b₂x_i2)²

Problema que equivale a resolver el sistema de ecuaciones normales:

1. ∂S/∂b₀ = -2Σ(y_i - b₀ - b₁x_i1 - b₂x_i2) = 0
2. ∂S/∂b₁ = -2Σ(y_i - b₀ - b₁x_i1 - b₂x_i2)x_i1 = 0
3. ∂S/∂b₂ = -2Σ(y_i - b₀ - b₁x_i1 - b₂x_i2)x_i2 = 0

Sin más que dividir por N las ecuaciones anteriores, la primera nos garantiza que el error medio es nulo, e = 0, y nos permite obtener el valor del término independiente una vez calculados b₁ y b₂:

b₀ = y - b₁x₁ - b₂x₂

Sustituyendo este valor en las dos ecuaciones restantes se llega a las relaciones:

1. b₁S²_x1 + b₂S_x1x2 = S_yx1
2. b₁S_x1x2 + b₂S²_x2 = S_yx2

de donde los coeficientes b₁ y b₂ se obtendrán explícitamente mediante las siguientes expresiones:

1. b₁ = (S²_x2S_yx1 - S_x1x2S_yx2)/(S²_x1S²_x2 - S²_x1x2)
2. b₂ = (S²_x1S_yx2 - S_x1x2S_yx1)/(S²_x1S²_x2 - S²_x1x2)

Utilizando los datos del ejemplo, tenemos que el plano de regresión que explica los beneficios de las empresas en términos del activo y la plantilla viene dado por la ecuación:

B = -24,608 + 0,0263A + 0,0755P

Un comentario inmediato que surge en el primer análisis de esta ecuación se refiere a los coeficientes y al consiguiente efecto que las variables explicativas tienen sobre los beneficios. Por un lado, se deduce que una situación de cierre de la empresa, en la que tanto el activo como la plantilla serían nulas, daría lugar a unas pérdidas en torno a los 24000 euros. Por otro lado, se observa que aumentos en la plantilla o en el activo total suponen aumentos de los beneficios puesto que los coeficientes respectivos son positivos.

Los parámetros b₁ y b₂ reciben el nombre de coeficientes de regresión parcial; nos indican cuál es el efecto marginal de cada variable explicativa sobre la variable dependiente.

En el estudio que estamos realizando, ¿qué crecimiento cabe esperar en el beneficio por cada nuevo empleado que se contrate? Si se mantiene constante el activo, esta variación marginal viene indicada por el correspondiente coeficiente de regresión parcial. En este caso: 0,0755 (miles de euros).