Estadística y combinatoria al alcance de todos

La correlación es el grado de ajuste de la nube de puntos a la función matemática asignada. La correlación responde a la pregunta: ¿en qué medida una recta, u otra función matemática, describe de un modo adecuado la relación existente entre las variables? La relación entre dos variables puede ajustarse muy bien a una recta o cualquier otra función matemática. Para medir la correlación lineal , se emplea el coeficiente de correlación de Pearson , cuya expresión es: r =  σ xy /(σ x ·σ y ) El signo del coeficiente de correlación de Pearson coincide con el signo de la covarianza, puesto que σ x y σ y son dos números positivos. Así, la correlación es positiva, o directa cuando al aumentar una variable, se produce un aumento de la otra, y al disminuir una, se produce una disminución de la otra. Esto ocurre cuando la covarianza es positiva. La correlación es negativa, o inversa , cuando al aumentar una variable, se produce una disminución de la otra, y a...

La recta de regresión puede utilizarse para predecir el valor de Y que corresponde a un determinado valor de X conocido. Se llama interpolación a la estimación de un valor de la variable Y para un cierto valor de X, dentro de su recorrido. Se llama extrapolación a la estimación de un valor de Y, para un cierto valor de X fuera de su recorrido. Ejemplo Tomar las calificaciones en matemáticas y física del ejercicio anterior y calcular las notas que obtendrían en física unos alumnos cuyas puntuaciones en matemáticas han sido 4 y 9. Puntuación 4 en matemáticas. Se calculará la nota en física por interpolación, partiendo de la recta de regresión calculada anteriormente: y = 0,8955·x + 0,9702 0,8955·4 + 0,9702 = 4,55 = puntuación en física Para x = 9 y = 0,8955·9 + 0,9702 = 9,03 En esta ocasión, el problema se ha resuelto por extrapolación, puesto que la nota 9 no está en el recorrido de X.

Para ver una aplicación de lo explicado en la anterior entrada , expongo el siguiente ejemplo. Ejemplo Tenemos que obtener la recta de regresión de las distribuciones bidimensionales referentes a las notas dadas ya en ejemplos anteriores de matemáticas-física y matemáticas-literatura de seis alumnos. Notas en Matemáticas 2 6 8 5 5 1 Notas en Física 4 6 7 6 7 0 Notas en Literatura 8 3 6 7 7 5 Resolución Matemáticas-física Sea X la variable puntuación en matemáticas , e Y la variable puntuación en física . x = 27/6 = 4,5  y = 30/6 = 5 σ xy = 30/6 = 5 (cálculo hecho en el ejemplo anterior) σ x 2 = (Σx i 2 )/N - x 2 = 155/6 - (4,5) 2 = 5,5833 La recta de regresión, es por tanto: y = (5/5.5833)·(x - 4,5) + 5 = 0,8955·x + 0,9702 En esta recta, a los puntos R(5, 6) y S(6, 7) de la nube de puntos se l...

La regresión es el estudio de los métodos de ajuste, de una curva conocida a una nube de puntos. La regresión trata de determinar la expresión matemática de la línea que más se aproxima, o que mejor se ajusta, a la nube de puntos. Trata, por tanto, de averiguar cuál es la función que refleja del modo más exacto la relación entre ambas variables. Regresión lineal La regresión lineal estudia los distintos métodos, o técnicas, de ajustar una recta a una nube de puntos. Una de las finalidades de este ajuste es poder predecir los valores de una variable a partir de los de otra. Cálculo de la recta de regresión Y sobre X Dada una nube de puntos, la recta de regresión que mejor se ajusta a ella tendrá una ecuación de la forma y = ax + b Para obtener los valores de a y b, se impondrán dos condiciones: La recta de regresión ha de pasar por el punto P = ( x , y ), llamado centro de gravedad de la nube de puntos. Esta condición implica que: y - y = a(x - x ) ecuación de la recta que pasa...

A partir del estudio de dos variables estadísticas X e Y y de sus medidas de centralización y dispersión, se define una nueva medida llamada covarianza. La covarianza mide la variación conjunta de ambas variables . Se representa por  σ xy y se define como: σ xy =  Σ ((x i - x )·(y i - y ))/N O bien: σ xy = Σx i y i /N -  x· y Ejemplo Tenemos que calcular la covarianza existente entre las calificaciones de matemáticas y física, y las calificaciones de matemáticas y literatura del ejemplo anterior . Resolución Cálculo de la covarianza entre las puntuaciones de matemáticas y física. Sea X la variable puntuación en matemáticas e Y la variable puntuación en física . Para calcular la covarianza, se construye la siguiente tabla: x i y i (x i – x ) (y i – y ) (x i – x )(y i – y ) x i ·y i 2 4 -2,5 -1 2,5 8 6 6 1,5 1 1,5 36 ...