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Covarianza

A partir del estudio de dos variables estadísticas X e Y y de sus medidas de centralización y dispersión, se define una nueva medida llamada covarianza.

La covarianza mide la variación conjunta de ambas variables. Se representa por σxy y se define como:

σxy = Σ((xi - x)·(yi - y))/N

O bien:

σxy = Σxiyi/N - x·y

Ejemplo

Tenemos que calcular la covarianza existente entre las calificaciones de matemáticas y física, y las calificaciones de matemáticas y literatura del ejemplo anterior.

Resolución

  • Cálculo de la covarianza entre las puntuaciones de matemáticas y física.
Sea X la variable puntuación en matemáticas e Y la variable puntuación en física. Para calcular la covarianza, se construye la siguiente tabla:

xi
yi
(xi – x)
(yi – y)
(xi – x)(yi – y)
xi·yi
2
4
-2,5
-1
2,5
8
6
6
1,5
1
1,5
36
8
7
3,5
2
7
56
5
6
0,5
1
0,5
30
5
7
0,5
2
1
35
1
0
-3,5
-5
17,5
0
27
30


30
165

  1. Media de las puntuaciones en matemáticas: x = 27/6 = 4,5
  2. Media de las puntuaciones en física: y = 30/6 = 5
  3. Covarianza (utilizando la primera fórmula, que suele ser la más usual):
σxy =  30/6 = 5


  • Cálculo de la covarianza entre las puntuaciones en matemáticas y literatura.
Sea en este caso X la variable puntuación en matemáticas, y la variable Y puntuación en literatura

xi
yi
(xi – x)
(yi – y)
(xi – x)(yi – y)
xi·yi
2
8
-2,5
2
-5
16
6
3
1,5
-3
-4,5
18
8
6
3,5
0
0
48
5
7
0,5
1
0,5
35
5
7
0,5
1
0,5
35
1
5
-3,5
-1
3,5
5
27
36


-5
157

  • Media de las puntuaciones en matemáticas: x = 27/6 = 4,5
  • Media de las puntuaciones en literatura: y = 36/6 = 6
  • Covarianza:
σxy = -5/6 = -0.833

Interpretación de la covarianza

Una covarianza positiva indica que ambas variables crecen o decrecen  simultáneamente. Cuando mayor sea la covarianza, más estrecha es la relación entre las variables.

Una covarianza negativa indica que cuando la variable crece, la otra decrece y viceversa. Cuanto menor sea la covarianza, puesto que es negativa, más estrecha es la relación entre las variables.

La covarianza cero o muy próxima a cero indica que no existe relación entre las variables.

Ejemplo

En el caso de las puntuaciones en matemáticas y física hay una covarianza positiva, lo que indica si un alumno tiene una puntuación alta en matemáticas, también la tendrá en física, y si la tiene baja en matemáticas, también la tendrá baja en física.

En el caso de las puntuaciones en matemáticas y literatura, la covarianza es negativa y próxima a cero, lo que indica que no casi relación en las variables.
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