Regresión

La regresión es el estudio de los métodos de ajuste, de una curva conocida a una nube de puntos.

La regresión trata de determinar la expresión matemática de la línea que más se aproxima, o que mejor se ajusta, a la nube de puntos. Trata, por tanto, de averiguar cuál es la función que refleja del modo más exacto la relación entre ambas variables.

Regresión lineal

La regresión lineal estudia los distintos métodos, o técnicas, de ajustar una recta a una nube de puntos. Una de las finalidades de este ajuste es poder predecir los valores de una variable a partir de los de otra.

Cálculo de la recta de regresión Y sobre X

Dada una nube de puntos, la recta de regresión que mejor se ajusta a ella tendrá una ecuación de la forma

y = ax + b

Para obtener los valores de a y b, se impondrán dos condiciones:

• La recta de regresión ha de pasar por el punto P = (x, y), llamado centro de gravedad de la nube de puntos. Esta condición implica que:

y - y = a(x - x)

ecuación de la recta que pasa por el punto (x, y) y cuya pendiente es a.

Por lo tanto:

y = a(x - x) + y 

Sólo queda por determinar el valor de la pendiente de la recta, a.

• A cada punto P_i, de coordenadas (x_i, y_i) perteneciente a la nube de puntos, le corresponde, en la recta, el punto P_i, de coordenadas (x_i, Y_i). Si se llama D_i a la diferencia y_i - Y_i, se impondrá la condición de que la suma de los cuadrados de estas distancias sea mínima. Es decir, Σ(y_i - Y_i)²  = ΣD_i² debe ser mínima.

Puesto que Y_i pertenece a la recta, Y_i = a(x_i - x) + y y ΣD_i² = [(y_i - y) - a(x_i - x)]² debe ser mínimo.

De esta condición, y mediante un tratamiento matemático, se deduce que el valor de a debe ser:

a = σ_xy/σ²_x

Por lo tanto, la ecuación de la recta de regresión Y sobre X es:

y = (σ_xy/σ²_x)·(x - x)) + y

Al cociente σ_xy/σ²_x  se le denomina coeficiente de regresión de Y sobre X y se representa por a_xy.

El método de obtención de esta recta, minimizando la suma de los cuadrados de las y_i - Y_i se denomina método de mínimos cuadrados y la recta de regresión se llama también recta de mínimos cuadrados.