A menudo, las nubes de puntos de una distribución bidimensional presentan disposiciones gráficas que desaconsejan su ajuste a través de una recta. En algunos puede resultar adecuado un ajuste de tipo hiperbólico (Y = a + b/X), mientras en otros casos puede darse una relación potencial (Y = aXb), y en otros puede darse la relación exponencial (Y = abX).
En cualquiera de las situaciones descritas podría aplicarse el método mínimo-cuadrático, que desde el punto de vista conceptual sigue siendo válido. Sin embargo, se puede comprobar en estos casos que el cálculo de las derivadas parciales de la función a minimizar por mínimos cuadrados conduce a un sistema de ecuaciones no lineales.
Para evitar la resolución de este sistema, que puede resultar engorrosa, podemos realizar la función de ajuste mediante cambios de variable, que permiten pasar de las expresiones iniciales a un modelo linealizado en el que podemos aplicar la expresión de la recta mínimo-cuadrática explicada en la entrada anterior.
En concreto, en el caso de que el modelo de partida sea hiperbólico se puede efectuar el cambio X' = 1/X, que conduce a la expresión y = a + bX' en la que es posible ajustar por mínimos cuadrados la recta asociada a la distribución: (x'i, yj, nij), obteniendo así los parámetros a y b de la hipérbola.
En el caso de que los modelos de partida sean de tipo exponencial (Y = abX) o potencial (Y = aXb) la linealización de la función puede ser llevada a cabo a través de una transformación logarítmica.
En ambos casos se conseguirá (al igual que en el ajuste hiperbólico) pasar a modelos lineales, dados por las expresiones:
Para evitar la resolución de este sistema, que puede resultar engorrosa, podemos realizar la función de ajuste mediante cambios de variable, que permiten pasar de las expresiones iniciales a un modelo linealizado en el que podemos aplicar la expresión de la recta mínimo-cuadrática explicada en la entrada anterior.
En concreto, en el caso de que el modelo de partida sea hiperbólico se puede efectuar el cambio X' = 1/X, que conduce a la expresión y = a + bX' en la que es posible ajustar por mínimos cuadrados la recta asociada a la distribución: (x'i, yj, nij), obteniendo así los parámetros a y b de la hipérbola.
En el caso de que los modelos de partida sean de tipo exponencial (Y = abX) o potencial (Y = aXb) la linealización de la función puede ser llevada a cabo a través de una transformación logarítmica.
En ambos casos se conseguirá (al igual que en el ajuste hiperbólico) pasar a modelos lineales, dados por las expresiones:
ln Y = ln a + blnX
La expresión lineal mínimo-cuadrática puede ser aplicada en cualquiera de estos casos, si bien las rectas obtenidas en cualquiera de los supuestos tienen un carácter claramente auxiliar y conducen a parámetros que no coinciden exactamente con los que caracterizan las expresiones originales (a y b). De ahí la necesidad de ser conscientes de dichas alteraciones, efectuando los cambios finales a = exp(a') en el modelo potencial; a = exp(a') y b = exp(b') en el exponecial.
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