Ajuste lineal

Un ejemplo de ajuste, para que lo explicado en la anterior entrada, resulte más claro.

Si partimos de información sobre renta y consumo, la nube de puntos se ajusta mediante una recta: y = a + bx, obteniéndose valores teóricos del tipo: y_ti = a + bx_i.

Esta expresión lineal resultaría también indicada si el Ministerio de fomento decidiera que un tramo recto es la opción más conveniente. En general, este tipo de ajuste será (al igual que la hipótesis de linealidad) de aplicación muy generalizada.

Nos interesa determinar los parámetros a y b que minimizan la suma de errores cuadráticos, es decir:

E(a, b) = ΣΣ(y_j - a - bx_i)²n_ij

Para que la expresión anterior sea mínima deben ser nulas las derivadas parciales respecto a cada uno de los parámetros, esto es:

∂E(a,b)/∂a = -2ΣΣ(y_j - a - bx_i)n_ij = 0

∂E(a,b)/∂b = -2ΣΣ(y_j - a -bx_i)x_in_ij = 0

Aplicando las propiedades del operador suma, el sistema de ecuaciones normales resulta:

Σy_jn_j = aN + bΣx_in_i
ΣΣx_iy_in_ij = aΣx_in_i + bΣx_i²n_i

Por ejemplo, una posible recta de ajuste podría ser:

y = 0,8261 + 0,2435x

Resulta de interés estudiar el significado de los coeficientes de la recta de ajuste, cuya interpretación tiene especial importancia para el caso concreto de ciertos modelos económicos.

• El coeficiente a es la ordenada en el origen. 
• El coeficiente b es la pendiente de la recta, esto es b = dy/dx; por tanto indica una variación de la producida en la variable y ante un incremento unitario de la variable x.

Además de la generalidad de su uso y la interpretación de sus coeficientes, el ajuste de tipo lineal resulta de interés por algunas propiedades del mismo:

• En el ajuste de una recta, los errores se compensan globalmente unos con otros, es decir, la suma de errores es nula:

𝚺𝚺(y_j - a - bx_i)n_ij = 0

• La recta de ajuste pasa por el centro de gravedad de la distribución bidimensional, es decir, por el punto (x,y):

y = a + bx (igualdad que se obtiene dividiendo por N la primera ecuación normal)

• La recta de ajuste puede ser expresada de la siguiente forma:

y - y = S_xy/S²_x(x - x)

Esta propiedad queda probada dividiendo la segunda ecuación normal por N y dividiendo en ella el parámetro a por y - bx.