Métodos de interpolación

Cuando se dispone de datos sobre dos variables estadísticas, su información no irá referida, en general, a todos los valores posibles de las variables, sino únicamente a algunos de ellos, pudiendo resultar de interés la obtención del dato correspondiente a un valor posible pero no observado.

La interpolación consiste en la obtención, a partir de un conjunto de observaciones de dos variables, del valor de cada una de ellas para un valor concreto de la otra que se encuentra dentro del campo de variación de los datos observados.

Así pues, a partir de una variable bidimensional (X, Y) que toma valores (x_i, y_i) i = 1, 2, ..., n, queremos obtener el valor de la variable Y correspondiente a x₀, siendo: x₁ < x₀ < x_n. Para ello, suponemos una relación funcional entre las variables, del tipo Y = f(X) de manera que: y_i = f(x_i) y se tendrá y₀ = f(x₀). Dicha función recibe el nombre de función de interpolación o interpolatriz.

Interpolación lineal y parabólica

La interpolación parabólica consiste en determinar los parámetros de una parábola que pasa por todos los puntos observados.

Si se dispone únicamente de dos observaciones: (x₁, y₁), (x₂, y₂), la función de interpolación será la recta que pasa por esos dos puntos: y = a + bx. Tendremos que determinar, por tanto, sus dos parámetros: la ordenada en el origen (a) y la pendiente (b).

Puesto que la recta pasa por los puntos observados, los parámetros serán la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

y₁ = a + bx₁

y₂ = a + bx₂

es decir, b = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁); a = y₁ - [(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)]x₁

Por lo tanto, la recta de interpolación será:

y = y₁ + [(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)](x - x₁)

Por ejemplo, a partir de los puntos (4, 2) y (8, 10), la expresión es:

y - 2 = (8/4)(x - 4), esto es y = 2x - 6, con lo cual para x₀ = 6 se obtiene y₀ = 6.

En general, si se dispone de n observaciones: (x_i, y_i) i = 1,..., n, la parábola de interpolación, que será de grado n - 1, viene dada por la siguiente expresión:

y = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_n-1x^n-1

Como esta función ha de pasar por los n puntos, los coeficientes a₀, a₁, ... a_n debe satisfacer las siguientes igualdades:

y₁ = a₀ + a₁x₁ + a₂x₁² + ... + a_n-1x^n-1
..........
y_n = a₀ + a₁x_n + a₂x_n² + ... + a_n-1x_n^n-1

Con lo que se tiene un sistema de n ecuaciones con n incógnitas que puede ser expresado de forma matricial. Este sistema tiene solución siempre que el determinante de la matriz X sea no nulo, y esto ocurrirá cuando x_i ≠ x_j, para i ≠ j, es decir siempre que no haya más de una observación con la misma abscisa.

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Método de las aproximaciones sucesivas

Si para completar el trazado de la carreteras llevado a cabo por el ministerio de fomento (expuesto en la entrada anterior) los habitantes de un pueblo deciden construir caminos vecinales que permitan acceder a todas las casas, podríamos obtener (siempre que conozcamos las coordenadas de las casas) la expresión general del trazada vecinal a través de una función interpolatriz.

No obstante, este método podría resultar poco operativo si el número de casas fuese elevado (por ejemplo, con 25 casas se llegaría a un sistema de 25 ecuaciones con 25 incógnitas que puede resultar engorroso).

El método de las aproximaciones sucesivas resulta más sencillo desde el punto de vista operativo. El hecho de que la función de interpolación se vaya obteniendo progresivamente permite introducir en la función una nueva observación (x_n+1, y_n+1)

Para analizar cómo funciona el método de aproximaciones sucesivas, consideramos solamente dos observaciones: (x₁,y₁),(x₂,y₂) a partir de las cuales podemos obtener la recta de interpolación:

y = y₁ + [(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)](x₂ - x₁)

Si ahora tenemos un tercer punto, (x₃, y₃) podemos pasar a tener una parábola de segundo grado mediante la siguiente expresión:

y = y₁ + [(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)](x₂ - x₁) + a₂(x - x₁)(x - x₂)

Se puede comprobar que esta función pasa por las dos primeras observaciones. Como además, debe pasar por el tercer punto, se tendrá:

a₂ = (y₃ - y₁ - [(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)](x₃ - x₁))/[(x₃ - x₁)/(x₃ - x₂)]