La media geométrica

Partiendo de cierto capital inicial, se ha realizado una inversión a 4 años. El montante disponible al final de cada año se ha reinvertido en su totalidad según los siguientes tipos de interés compuesto anual:

Año	Tipos de Interés
1	3,2
2	1,8
3	1,1
4	2,6

Si i representa el rendimiento medio anual expresado en tanto por uno, vamos a ver cómo se calcularía el factor medio constante de capitalización del periodo de 4 años, 1 + i.

Por cada unidad monetaria (u.m.) invertida a principio del año 1 se obtuvo a finales del cuarto año un total de 1,032·1,018·1,011·1,026 = 1,09 euros (redondeando).

Puesto que i representa el rendimiento medio, al aplicar esta tasa anual de interés para cada unidad monetaria invertida en el año 1, resulta que (1 + i)⁴ será al total al final del año 4, y por tanto, (1 + i)⁴ = 1,032·1,018·1,011·1,026 , lo que permite obtener 1 + i como (1,032·1,018·1,011·1,026)^1/4 = 1,0217.

A partir de este dato, podemos conocer el rendimiento medio anual (i) pasa a ser del 2,17%.

El proceso seguido difiere mucho del cálculo de una media aritmética. Si se calcula este promedio para los rendimientos anuales, se obtendría x = 2,75%, y a pesar de que para este ejemplo no resulta muy dispar del verdadero valor de i, sobrevalora este resultado.

Para determinar el factor medio constante de capitalización en un periodo considerado, hemos utilizado como promedio la media geométrica.

Dada una variable X que toma valores x₁, x₂,..., x_k con frecuencias respectivas n₁, n₂,..., n_k se define como media geométrica la raíz n-ésima del producto de los n valores de la variable;

(x₁ⁿ¹·x₂·ⁿ²·...·x_k^nk)^(1/n)

Como en los promedios anteriores, en la media geométrica intervienen todos los valores de la distribución. Esta característica, que por un lado, supone una ventaja, por otra parte da lugar a que en algunos casos el promedio no resulte representativo, pues para cualquier variable que tome el valor cero la media geométrica será nula.

Además, no siempre es posible determinar la media geométrica (ante un número impar de valores negativos de un total de observaciones que sea par, por ejemplo), y aún admitiendo la posibilidad de realización del cálculo matemático, habrá que plantearse el sentido del resultado.

En el caso de trabajar con datos agrupados, la obtención tanto de la media armónica como de la media geométrica se hará según la definición dada, sin más que considerar como x_i la marca de clase de los intervalos. Ambas medidas admiten los mismos comentarios que la media aritmética en cuanto a pérdida de información.