La media armónica

Sabemos que disponemos de una forma de representar mediante un único valor (media aritmética) las observaciones correspondientes a una situación determinada. Veamos la siguiente situación:

Ejemplo

En un puerto franco, la mayoría de los turistas efectúan los pagos en dólares. Cuando el cambio del euro respecto al dólar era de 0,91 euros por dólar, un turista saca del banco 9100 euros en dólares para iniciar sus vacaciones. Poco antes de regresar a casa, cuando el dólar había subido su cotización a 1 dólar/euro, pide a su banco otros 9100 euros en dólares. ¿Cuál crees que fue el cambio medio del euro respecto al dólar? Si calculamos la media aritmética, (0,91 + 1)/2 = 0,955 euros/dólar. Pero, si para responder a la pregunta, se hace un planteamiento adecuado al problema, tenemos:

1. Cambio medio: Gasto total en euros/gasto total en dólares.
2. Gasto total en euros: 18200 euros.
3. Gasto total en dólares: (9100/0,91 + 9100/1) dólares.

Por lo tanto, el cambio medio sería:

18200/(9100/0,91 + 9100/1) = 18200/19100 = 0,953 euros/dólar

En este caso, la media aritmética sobrevalora el verdadero valor del promedio. Para este ejemplo, el valor medio apropiado es la media armónica, que se explica a continuación.

Sea X una variable estadística que toma los valores x₁, x₂,..., x_k, con frecuencias n₁, n₂,..., n_k, la media armónica se define como:

H = N/((n₁/x₁) + (n₂/x₂) + ... + (n_k/x_k)) 

Observa que este promedio utiliza toda la información disponible. Sin embargo, la media armónica no resulta afectada gravemente por los valores grandes, pues el modo en que intervienen en el denominador hace que sea poco sensibles a valores altos, y en cambio, se ve muy afectada por valores pequeños, llegando a la situación extrema de indefinición en distribuciones con algún valor igual a cero.