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Ejercicios de la distribución normal

Un par de ejercicios para entender mejor la distribución normal.

Ejercicio 1

La duración media de los secadores de pelo de una fábrica es de 3 años, con una desviación típica de 1,2 años. Los secadores tienen garantía de 6 meses. Tenemos que calcular la probabilidad de que, comprando un secador, sea necesario utilizar la garantía.

  • Sea X la variable aleatoria normal años de duración de un secador.
  • Se trata de calcular la probabilidad de que el secador se estropee antes de media año: P(X ≤ 0,5).
  • La duración de los secadores sigue una distribución N(3;1,2), por lo tanto, para efectuar el cálculo es necesario tipificar la variable.
P(X ≤ 0,5) = P[Z≤(0,5 - 3)/1,2] = 1 - P(Z ≤ -2,08) = 1 - P(Z≤2,08) = 1 - 0,9812 = 0,0188 

La probabilidad de tener que hacer uso de la garantía es del 1,88%.

Ejercicio 2

En una muestra de 1500 personas, la altura media es de 162 cm, con una desviación típica de 10 cm. Suponiendo que las alturas se distribuyen normalmente, tenemos que calcular:
  1. El número de personas que tienen una altura inferior a 158 cm.
  2. El número de personas que tienen una altura superior a 167 cm.
  3. El número de personas que tienen una altura comprendida entre 156 cm y 164 cm.
1)

Las alturas siguen una distribución N(162, 10). Se trata de calcular P(X  ≤  158). 

El valor tipificado que corresponde a 158 es:

z = (158 - 162)/10 = -0,4

Por lo tanto, hay que calcular P(Z ≤  -0,4).

P(Z ≤  -0,4) = 1 - P(Z ≤  0,4) = 1 - 0,6554 = 0,3446

Esto significa que el 34,46% de las personas tiene una estatura inferior a 158 cm.

El 34,46% de 1500 es: (34,46·1500)/100 = 516,9

Es decir, unas 517 personas miden menos de 158 cm.

2)

Hay que calcular P(X≥167).

La puntuación tipificada para 167 es z = (167 - 162)/10 = 0,5

P(Z≥0,5) = 1 - P(Z ≤ 0,5) = 1 - 0,6915 = 0,3085.

 Esto significa que el 30,85% de las personas miden más de 167 cm.

 x = (30,85 · 1500)/100 = 462,75, es decir, unas 463 personas

 3)

 P(156 ≤ X ≤ 164) se calcula a partir de los valores tipificados para 156 y 164.

  • Para 156, z = (156 - 162)/10 = -0,6.
  • Para 164, z = (164 - 162)/10 = 0,2.
P(-0,6 ≤ Z ≤ 0,2) = P(Z ≤ 0,2) - P(Z≤-0,6) = P(Z ≤ 0,2) - [1 - P(Z ≤ 0,6) = 0,5793 - (1 - 0,7258) = 0,3051.

Es decir, el 30,51% de las personas tienen una estatura comprendida entre 156 cm y 164 cm.

Este porcentaje corresponde a:

(30,51·1500)/100 = 458 personas



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