Cálculo de probabilidades de una distribución normal

Unos ejercicios sobre cálculo de probabilidades, para comprender mejor lo explicado en esta entrada.

Cálculo de probabilidades - tablas N(0, 1)

Tenemos que calcular las siguientes probabilidades:

1. Z ≤ 2,34; P(Z ≤ 2,34)
2. Z ≤ - 0,5; P(Z ≤ - 0,5)
3. 1,23 ≤ Z ≤ 2,53; P(1,23 ≤ Z ≤ 2,53)

1)

Se busca en la columna de la izquierda el valor 2,3. Se recorre esa línea en sentido horizontal hasta llegar hasta la columna encabezada con 4. El valor de la tabla para 2,34 es 0,9904.

2)

Puesto que la gráfica es simétrica, P(Z ≤ - 0,5) = P(Z ≥ 0,5); y como el área total es 1,  P(Z ≤ - 0,5) = P(Z ≥ 0,5) = 1 - P(Z ≤ 0,5).

Se trata de buscar en la tabla el valor que corresponde a 0,50, que es 0,6915. Así, la probabilidad pedida es:

P(Z ≤ - 0,5) = 1 - P(Z ≤ 0,5) = 1 - 0,6915 = 0,3085

3)

En este caso, al encontrarse entre dos valores, hay que hacer:

P(Z ≤ 2,53) - P(Z ≤ 1,23) = 0,9943 - 0,8907 = 0,1038

Cálculo de probabilidades - N(μ, σ)

Tenemos que calcular las siguientes probabilidades para una variable aleatoria X que sigue una distribución N(10, 2):

1. P(X ≤ 8)
2. P(X ≥ 13)
3. P(8,5 ≤ X ≤ 11,5)

1)

Al valor x = 8 le corresponde un valor tipificado

z = (x - μ)/σ = (8 - 10)/2 = -1

Por tanto, P(X ≤ 8) = P(Z ≤ -1) = 1 - P(Z ≤ 1) = 1 - 0,8413

2)

Al valor x = 13 le corresponde un valor tipificado

z = (13 - 10)/2 = 3/2 = 1,5

Por tanto, P(X ≥ 13) = P(Z ≥ 1,5) = 1 - P(Z ≤ 1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668

3)

Al valor x = 8,5 le corresponde un valor tipificado de

z = (8,5 - 10)/2 = -0,75

Al valor x = 11,5 le corresponde un valor tipificado

z = (11,5 - 10)/2 = 0,75

Por tanto, P(8,5 ≤ X ≤ 11,5) = P(-0,75 ≤ Z ≤ 0,75) = P(Z ≤ 0,75) - P(Z ≤ - 0,75) = P(Z ≤ 0,75) - [1 - P(Z ≤ 0,75)] = 0,7734 - [1 - 0,7734] = 0,5468

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Del estudio de la distribución normal se deduce que los datos se agrupan en torno a la media, siendo la frecuencia de los datos menor, a medida que éstos se alejan de la media. Se puede comprobar que:

1. En el intervalo (μ - σ, μ + σ) se encuentran aproximadamente el 68,26% de los datos.
2. En el intervalo (μ - 2σ, μ + 2σ) se encuentran aproximadamente el 95,44% de los datos.
3. En el intervalo (μ - 3σ, μ + 3σ) se encuentran aproximadamente el 99,74% de los datos.

Estos resultados los podéis comprobar para la distribución N(0,1) donde los intervalos  (μ - σ, μ + σ),  (μ - 2σ, μ + 2σ) y  (μ - 3σ, μ + 3σ) corresponden a (-1, 1), (-2,2) y (-3,3)