Ejercicios interesantes de probabilidad (III)

 Seguimos con los ejercicios interesantes. Espero que os resulte de interés.

Ejercicio 1

Tenemos que hallar dos listas de cinco números positivos cuya media, mediana, moda y rango sean cinco.

Solución

Sabemos que la mediana es 5, así que ambos conjuntos de números han de ser x,x,5,x,x. También sabemos que el rango es 5, lo que significa que el menor y el mayor han de ser (0,5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10). Pero como la media ha de ser 5, los cinco números han de sumar 25, y el máximo posible de (0,x,5,x, 5) y (1,x,5,x,6) es 20 y 23, respectivamente.

De igual manera, (4,x,5,x,9) y (5,x,5,x,10) resultan muy elevados. Eso deja sólo a (2,7) y (3, 8) como el máximo y el mínimo para nuestras dos listas, que por lo tanto son: 2,x,5,x,7 y 3,x,5,x,8. Respecto a la moda, sabemos que el 5 ha de aparecer al menos dos veces en cada lista. En la primera, 2 + 5 + 7 son 14, así que los otros dos números han de sumar 11. Las posibilidades son 5+6, y 4 + 7, así que la primera lista es 2,5,5,6,7. Respecto a la segunda lista, estamos a nueve de 25, y tenemos las opciones de 3+6 y 4+5. Necesitamos el segundo 5, así que la segunda lista es 3,4,5,5,8.

Ejercicio 2

Tenemos una bolsa que contiene varias bolas negras idénticas y una sola bola blanca, que por lo demás, es idéntica a las otras. Tenemos un juego en el que dos personas sacan una bola de la bolsa y se la queda; la primera persona en sacar la bola blanca es la que gana. ¿Qué sería una desventaja, sacar primero o segundo?

Solución

Depende si hay un número par o impar de bolas en la bolsa. Ir en segundo lugar no ayuda en absoluto. Las probabilidades de sacar una bola blanca después de que su oponente haya sacado una bola negra son algo mayores, pero se compensan exactamente con la posibilidad de que su oponente saque la bola blanca antes de que le toque a él (o ella). Matemáticamente, si hay n bolas al principio, la probabilidad de extraer la blanca en la primera extracción es simple. 1/n; la probabilidad de obtenerla en la segunda extracción es 1/(n-1) multiplicada por los (n-1)/n casos en los que la primera persona no haya ganado. Los (n - 1) se anulan para ofrecer una probabilidad en la segunda extracción, que sigue siendo 1/n. Por tanto, si el número total de bolas es par, no hay ninguna diferencia. Sin embargo, si el número de bolas es impar, y el juego se prolonga todo lo posible, la persona que salió en primer lugar tendrá una extracción extra que no disfrutará la persona que salió en segundo lugar.