Ejercicios de repaso (2)

 Otro ejercicio de repaso. Espero que os resulte útil.

Ejercicio

Juan y David se desafían en un torneo de dardos con una diana representada en la imagen de abajo

Los puntos que se obtienen por dar en cada sector se indican en la diana. Si da en el círculo central se obtienen 50 puntos, mientras que si da en cada franja circular externa o el dardo cae fuera de la diana no se obtiene ninguno.

Los jugadores lanzan tres dardos en cada turno; la puntuación por turno es el resultado de la suma de las tres puntuaciones realizadas.

Cuestiones a resolver

1. Tenemos que completar la siguiente tabla, sabiendo que después de 10 turnos  Juan ha realizado una media de 17 puntos por cada uno, mientras que David ha obtenido una media de 22 puntos (hallar el valor de X y de Y):

Turno	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Juan	28	10	17	14	30	8	6	X	15	11
David	17	20	22	15	35	40	17	28	10	Y

2. En la tabla siguiente se ilustran en detalle los puntos obtenidos por Juan en cada una de las tiradas de los 6 primeros turnos:

1º Turno	2º Turno	3º Turno	4º Turno	5º Turno	6º Turno
4 2 11	6 4 10	20 0 2	4 6 5	14 10 11	20 4 16

Tenemos que dibujar un histograma que represente la frecuencia de estos puntos.

3. ¿Cuál es la puntuación más frecuente de Juan? ¿Cuál es su puntuación en los 6 primeros?

4. El radio de la diana mide 24 cm, el de la circunferencia que contiene los puntos es de 18 cm, la del círculo del centro 2 cm. Suponiendo que la probabilidad de dar en una zona sea proporcional a su área, ¿cuál es la probabilidad de para obtener 20 puntos en cada tiro?

Solución

1.

De la fórmula de la media aritmética, se obtiene el valor que falta en la tabla relativa al octavo turno de Juan es x₈=17·10 - (28 + 10 + 17 + 14 + 30 + 8 + 6 + 15 + 11) = 35. Análogamente, se calcula el valor que falta en la tabla relativa al décimo turno de David: x₁₀ = 22·10 - (17 + 20 + 22 + 15 + 35 + 40 + 17 + 28 + 10) = 16.

2.

Un ejemplo de histograma:

3.

La puntuación más frecuente de cada tiro de Juan es 4 (obtenido 4 veces). La puntuación media de Juan es

(0·1 + 2·2 + 4·4 + 5·1 + 6·2 + 10·2 + 11·2 + 14·1 + 16·1 + 20·2)/18 = 8,3 (aprox.)

4.

Hay una sola manera de obtener 20 puntos en un solo tiro: dar con el dardo en la zona de la diana en la zona de la diana en la que se lee 20. Indicamos el área de esta zona con S₂₀. Visto que la probabilidad de dar en una zona es proporcional a su área, hay que calcular la relación entre S₂₀/S_total = S₂₀/(Π·24²). La S₂₀ se obtiene dividiendo por 20 (tantas son las zonas de la diana, todas son del mismo área, en la que se indican los puntos) la diferencia entre el área que contiene los puntos y el área del círculo central, es decir, el área de la corona circular que contiene los puntos:

S₂₀ = (Π·18² - Π·4)/20 = 16·Π cm². De manera que:

S₂₀/24²·Π = 1/36