Ejercicios interesantes de probabilidad

 Os expongo algunos ejercicios de probabilidad, en mi opinión muy interesantes.

Ejemplo 1

Disponemos de una bolsa con una bola. Hay las mismas probabilidades de que contenga una bola, bien blanca, bien negra, imposible de distinguir por su forma, tan solo por su color.

Si introducimos una bola también indistinguible en la bolsa, en este caso blanca. Luego cerramos la bolsa, la agitamos y sacamos una bola. Esa bola es blanca y la quitamos del juego. ¿Qué probabilidad hay de que la bola que queda sea blanca?

Solución

La bola será blanca dos de cada tres veces, con una probabilidad del 66,6%. Aunque sólo había dos bolas en la bolsa, como no se conoce la situación de partida, todavía hay tres formas posibles que comiencen con una bola blanca: 

• Blanca Nueva,  seguida de Blanca Original.
• Blanca Original seguida de Blanca Nueva.
• Blanca Nueva seguida de Negra Original.

Cada una de las tres tiene las mismas probabilidades, por lo que en 2/3 de los casos se sacará una segunda bola blanca de la bolsa.

Ejemplo 2

Tenemos un centenar de galletas, la mitad saladas y la otra mitad dulces. Tenemos los tipos separados y dos tarros grandes. Nuestro objetivo es colocar todas las galletas en los dos tarros, de la manera que creamos conveniente. Después nos vendarán los ojos, y seleccionaremos una galleta de los dos tarros, también dispuestos al azar. ¿Cómo se podrían disponer las galletas para lograr las mayores posibilidades de tomar una galleta dulce?

Solución

La técnica correcta para este tipo de casos es colocar una sola galleta dulce en un tarro y todas las demás galletas en el otro tarro. De este modo, si se selecciona el tarro con una sola galleta, se garantiza un buen resultado, mientras que si se selecciona el otro tarro se sigue teniendo una probabilidad de 49/99 de obtener la galleta correcta. Por lo tanto, las probabilidades totales de obtener una galleta dulce son de algo menos del 75%.

Ejemplo 3

Un matrimonio tiene 6 hijos e hijas. El padre tiene los ojos azules. Si encontramos a dos hijas cualesquiera de este matrimonio, hay una probabilidad exacta de 1/2 que ambas tengan los ojos azules de su padre. ¿Cuántas hijas tiene el matrimonio?

Solución

La probabilidad de encontrarse a una chica de ojos azules si hay x chicas de ojos azules e y chicas en total es x/y. Por lo tanto, la probabilidad de una segunda, eliminando la primera de las cuentas, es (x-1)/(y-1). Por lo tanto, la probabilidad de conocer a una pareja que tenga los dos ojos azules es el producto de las probabilidades, es decir: (x*(x-1))/(y*(y-1)).Sabemos que esta ecuación tiene que equivaler a 0,5, porque hay un 50% de posibilidades de encontrarse a dos hermanas de ojos azules, y también sabemos que x tiene que ser al menos 2, e y tiene que valer por lo menos 3. Así que intentamos poner algunos valores en la ecuación. Con x = 3, y = 4, se cumple la ecuación. Por lo tanto, tienen 4 hijas, de las cuales 3 tienen los ojos azules.