Miscelánea de ejercicios de Estadística

 Para volver a repasar lo explicado, dejo unos cuantos ejercicios de Estadística.

Ejercicio de probabilidad

De una urna que contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30 se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída tenga un múltiplo de 3 o de 7?

Resolución

Los casos posibles son 30.

Llamemos:

 A = Obtener múltiplo de 3 = {3, 6, 9, 12, ..., 30} → P(A) = 10/30

B = Obtener múltiplo de 7 = {7, 14, 21, 28} → P(B) = 4/30

A∩B = Obtener múltiplo de 3 y de 7 = {21}→ P(A∩B) = 1/30

A∪B = Obtener múltiplo de 3 o de 7 = P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/30 + 4/30 - 1/30 = 13/30

Ejercicio de distribución binomial

La probabilidad que tiene Pepe de ganar una partida de futbolín es 2/3. Si hoy va a jugar 4 partidas, tenemos que hallar la probabilidad de que gane:

1. dos partidas;
2. al menos una partida;
3. más de la mitad de las partidas

Resolución

Si la probabilidad de ganar una partida es 2/3, la de que no se gane es 1 - 2/3 = 1/3, y como se juegan 4 partidas, la distribución es una binomial B(4, 2/3).

1.

P(x = 2) = C_4,2·(2/3)²·(1/3)² = 6·(4/9)·(1/9) = 24/81 = 8/27

2.

P(x ≥ 1) = 1 - P(x < 1) = 1 - P(x = 0) = 1 - C4,0·(2/3)⁰·(1/3)⁴ = 1 - 1/81 = 80/81

3.

P(x > 2) = P(x = 3) + P( x = 4)

C_4,3·(2/3)³·(1/3) + C_4,4·(2/3)⁴·(1/3)⁰ = 4·(8/27)·(1/3) + 1·(16/81) = 48/81 = 16/27

Ejercicio de distribución normal

Las notas de un examen se distribuyen normalmente con una media de 4,9 y una desviación típica de 2. Si se presentan 1000 alumnos, tenemos que calcular:

1. el número esperado de aprobados;
2. el porcentaje de alumnos con nota inferior a 4.

Resolución

Las notas siguen una distribución N(4; 9,2)

1.

Queremos calcular P(x ≥ 5). Para ello, hallamos el valor tipificado de la variable correspondiente a 5:

z = (5 - 4,9)/2 = 0,05. Por tanto, hay que calcular P(z ≥ 0,05)

P(z ≥ 0,05) = 1 - P(z ≤ 0,05) = 1 - ɸ(0,05) = 1 - 0,5199 = 0,4801

El número esperado de aprobados será: 0,4801·1000 ≈ 480.

2.

P(x ≤ 4) = P(z ≤ (4 - 4,9)/2) = P(z ≤ -0,45) = 1 - P(z  ≥ 0,45) = 1 - 0,6736 = 0,3264

Por lo tanto, el porcentaje de alumnos con nota inferior a 4 será un 32,64% (aprox.)

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En las próximas entradas, explicaré más ejercicios de Estadística. Espero que os resulte útil. Gracias por seguir el blog.