Ejercicios de probabilidad

 Los fenómenos aleatorios están presentes en nuestro entorno. Con frecuencia, hacemos referencia al azar, utilizando palabras con un significado similar: accidental, imprevisible...

A pesar del carácter aproximado de las leyes del azar, es importante conocerlas y utilizarlas para poder distinguir grados de incertidumbre. La medida de probabilidad de un suceso es lo que nos permite establecer, entre lo seguro y lo imposible, cuán probable es un suceso.

Problema 1

Se lanzan dos dados. Si la suma de los puntos es 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de ellos aparezca un 3?

Sea A = Obtener una suma de puntos igual a 7

A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} => P(A) = 6/36

Sea B = Obtener un 3 en alguno de los dados

B = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (3,6)}

A∩B = {(3,4),(4,3)} => P(A∩B) = 2/36

B/A = Obtener un 3, sabiendo que la suma ha sido 7

Utilizando la definición:

P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (2/36)/(6/36) = 1/3

Problema 2

De una urna que contiene 6 bolas blancas, 4 azules y 3 verdes, se extraen 3 bolas, devolviendo la urna a la bola después de cada extracción. Tenemos que calcular la probabilidad de que:

1. Las tres sean del mismo color.
2. Al menos dos sean blancas.

1.

Sea S = las tres son del mismo color

Podemos considerar S = (B∩B∩B) ∨ (A∩A∩A) ∪ (V∩V∩V), donde B = obtener bola blanca; A = obtener bola azul y V = obtener bola verde. Entonces:

P(S) = P(B)·P(B)·P(B) + P(A)·P(A)·P(A) + P(V)·P(V)·P(V)

P(S) = (6/13)·(6/13)·(6/13) + (4/13)·(4/13)·(4/13) + (3/13)·(3/13)·(3/13) = 307/2197

2.

Llamando H = al menos dos bolas blancas

H = (6/13)·(6/13)·(7/13) + (6/13)·(7/13)·(6/13) + (7/13)·(6/13)·(6/13) + (6/13)·(6/13)·(6/13) = 972/28561