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Ejercicios de medidas de centralización y dispersión

Ejercicios interesantes para repasar lo aprendido. Espero que os resulten útiles.

 Problema 1

Preguntamos a un grupo de personas el número de veces que va al cine mensualmente. Los datos obtenidos están recogidos parcialmente en la siguiente tabla:


¿Cuál será el número de personas que va al cine 3 veces al mes, si sabemos que la media es 2?

Recuerda que la fórmula que da la media aritmética es x = 𝜮xini/N, en la que xi son los datos (0, 1, 2, 3, 4, 5); ni las frecuencias absolutas de los mismos (9, 5, 10, x, 3, 2) y N es la suma de las frecuencias absolutas o número de personas consultadas. Por tanto, como la media aritmética es igual a dos podemos escribir:

2 = (0·9 + 1·5 + 2·10 + 3·x + 4·3 + 5·2)/(9 + 5 + 10 + x + 2+3)

Resolviendo la ecuación, tenemos:

2·(29 + x) = 47 + 3x => 58 + 2x = 47 + 3x => x = 11

11 personas.

Problema 2

  1. Los 27 aprobados de 1º de Bachillerato tienen una nota media en Matemáticas de 6,8. La media de los suspensos, que son 15, es 3,2. ¿Cuál es la nota media de 1º de Bachillerato en este examen?
  2. En otro examen, esos mismos alumnos tuvieron una media de 5,25. Los aprobados fueron 20 y su media fue 6,75. ¿Cuál fue la media de los suspensos?
  3. Por último, en el examen final la media fue 5,5. La de los aprobados fue 6,5 y la de los suspensos fue 3. ¿Cuántos aprobados y suspensos hubo?
1.

La nota media de los 27 aprobados nos permite saber cuál ha sido la suma de puntuaciones obtenidas por éstos, ya que:

𝜮xini/27 = 6,8 => 𝜮xini = 183,6

De igual forma, podemos calcular la suma de puntos de los suspensos

𝜮xini/15 = 3,2 => 𝜮xini = 48

Entre los dos grupos, la suma de puntuaciones fue: 183,6 + 48 = 231,6

Por tanto, la nota media de los 42 alumnos será:

231,6/42 = 5,51 (aprox.)

2.

Razonando de misma forma que en el apartado anterior, tenemos:

5,25 = (20·6,75 + 𝜮xini)/42 => 𝜮xini = 85,5

La media de los 22 alumnos suspensos es:

85,5/22 = 3,89 (aprox.)

3.

Llamando K al número de alumnos aprobados, será 42 - K el número de alumnos suspensos. Por lo tanto:

5,5 = (6,5K + 3·(42 - K))/42

231 = 6,5K + 126 - 3K => K = 30

El número de aprobados fue 30, y el de suspensos 42 - 30 = 12.
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