Ejercicios de combinatoria

 Para resolver estos problemas, es conveniente seguir estas normas:

• Elegir una notación adecuada.
• Poner ejemplos o hacer diagramas.
• Simplificar el problema, resolviendo antes un caso más sencillo.

Problema 1

En una fábrica hay 3 plazas vacantes para ingenieros/as y 2 para operarios/as. Se presentan para cubrirlas 8 ingenieros e ingenieras, y 6 operarios y operarias.

1. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden cubrir las 5 plazas?
2. ¿Cuántas posibilidades habrá, si las plazas vacantes no son para realizar el mismo trabajo?

1.

Designamos a los aspirantes al puesto de ingeniería con las letras: A, B, C, D, E, F, G, H. Una posible elección sería ACE, otra distinta BCH; sin embargo, el grupo EAC es igual que el ACE, puesto que los seleccionados son los mismos. Por tanto, el orden no hace variar al grupo, y por ello, son combinaciones. El número de combinaciones de grupos para los aspirantes a los puestos de ingeniería es:

C³₈ = (8·7·6)/(1·2·3) = 56

Con las personas aspirantes al puesto de operario/a, ocurre los mismo y el número es:

C²₆ = (6·5)/(2·1) = 15

Por cada grupo de ingenieros/as seleccionado, hay 15 grupos de operarios/as. En total serán:

56·15 = 840 maneras de ocupar los 5 puestos

2.

En este caso del grupo BCD y el DBC son distintos, pues B ocuparía el puesto 1 en el primer caso, y el puesto 2 en el segundo. Ahora se trata de variaciones.

V³₈ = 8·7·6 = 336 para los ingenieros/as

V²₈ = 6·5 = 30 para los operarios/as

En total, 336·30 = 10080 posibilidades.

Problema 2

En un concurso se propone el siguiente juego: se dan seis tarjetas boca abajo, cada una de ellas con una de las letras P, R, E, M, I, O. El concursante debe ordenarlas sin verlas, y si, al darles la vuelta, se le lee la palabra PREMIO se le obsequia con un coche.

1. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden escribir con esas 6 letras?
2. Si las colocamos, en orden alfabético, ¿qué lugar ocupa la palabra PREMIO?

1.

Las diferentes palabras están formadas por las 6 letras, colocadas en diferente orden. Son las permutaciones de 6 elementos.

P₆ = 6! = 720

2.

Al colocar las letras en orden alfabético (E, I, M, O, P, R) observamos que PREMIO es de las últimas, y por ello es más sencillo contar las posteriores, que son las que empiezan por R, PR, PRM y PRO. Si fijamos la R quedan 5 letras para 5 posiciones:

P₅ = 5! = 120

PRI___, PRM___, PRO___ => 3·P₃ = 3·3! = 18

También la palabra PREMOI es posterior a PREMIO. Son, en total:

120 + 18 + 1 = 139

Por lo tanto, la palabra PREMIO ocupa el lugar:

720 - 139 = 581