Curva logística

Cuando se trata de modelizar la evolución de una población, tenemos que tener en cuenta algunas condiciones específicas en las que debemos apoyarnos.

El país X no puede tener una población inferior a un millón de habitantes, porque esto conduciría a graves riesgos para el país. Su población tampoco puede exceder la cifra de treinta millones, pues sus recursos no permitirían esas dimensiones.

La velocidad de crecimiento de la población siempre es positiva. Su aceleración es positiva hasta alcanzar un cierto valor k y negativa a partir de él.

Las condiciones anteriores permiten establecer dos asíntotas, una derivada positiva y una derivada segunda que cambia de signo y una ecuación diferencial. Su resolución conduce a una curva del tipo P₀ + [M/(1 + Ne^-kt)] que se conoce con el nombre de curva logística.

Una forma habitual de estimar la curva logística es el procedimiento de interpolación diseñado por Vershult, basado en la determinación previa de la asíntota inferior y en información sobre el número de habitantes en tres periodos de tiempo equidistantes.

Veamos cómo podemos aplicar este método para obtener la curva logística de la población del país X. Imaginemos que disponemos de datos de la población correspondientes a tres años censales:

Año	Población (en millones)
1990	2,5
2000	3,5
2010	5

Sabemos que el límite inferior de la población del país X es 1 millón, por lo que P₀ = 1. Haremos una reasignación de tiempos t = 0, 1, 2 y un cambio de origen de modo que el eje X sea la asíntota inferior:

t	zt = Pt – P0
0	1,5
1	2,5
2	4

Así, sustituyendo en la ecuación de la curva expresada como:

1/z_t = (1 + Ne^-tk)/M

los valores de las tres observaciones, se tiene un sistema de tres ecuaciones, cuya resolución conduce a la siguiente curva logística del país X:

P_t = 1 + 17,5/(1 + 10,667e^-0,5754t)

El modelo logístico es útil cuando las condiciones del fenómeno se mantienen o son estables en el tiempo. Por ejemplo, si hay un avance en la medicina preventiva, un cambio en los tamaños medios de las familias... será necesario realizar una revisión.

---