Aplicaciones del ajuste

A modo de ejemplo, para entender mejor lo explicado en entradas anteriores, vamos a estudiar una función que permite ajustar la distribución de la renta personal: la ley de Pareto.

La función propuesta por Pareto para aproximar la distribución de la renta y la riqueza se puede aproximar como: Y = A/X^ɑ, donde X es la renta, Y la proporción de personas que tienen una renta superior a X y A y ɑ parámetros.

Dicha función no es lineal, por lo que para estimar los parámetros es aconsejable tomar logaritmos, con lo que resulta: ln Y = ln A - ɑlnX.

Mediante los cambios: Y' = ln Y; A' = ln A; X' = -ln X se tendrá la función lineal: Y' = A' + bX'; realizando el ajuste de las nuevas variables por mínimos cuadrados obtendremos A' y ɑ, con lo cual quedarán determinados los parámetros del modelo (A = exp(A') y ɑ).

Ejemplo

A modo de ejemplo, vamos a estimar el ɑ de Pareto para la siguiente distribución de la renta de un colectivo de familias:

Renta familiar (miles de euros)	Número de Familias
70	3
105	4
150	2
200	1

Si llamamos X a la renta e Y a la proporción de personas que tiene una renta superior a X, tenemos:

X	Y	X’ = - ln X	Y’ = ln Y
70	1	-4,25	0,00
105	0,7	-4,65	-0,36
150	0,3	-5,01	-1,20
200	0,1	-5,30	-2,30

información que conduce a los resultados:

ɑ = S_x'y'/S²_x' = 2,16; A' = 9,425; A = exp(A') = 12394,4