Aplicaciones de los métodos de interpolación

Los métodos de interpolación son de aplicación generalizada en estadística. De hecho, algunas de sus aplicaciones ya han aparecido en entradas anteriores: éste sería el caso de la deducción de las expresiones de cálculo de la mediana para datos agrupados (por poner un ejemplo).

Además de las aplicaciones anteriores, las técnicas de interpolación tienen gran trascendencia en el ámbito económico, proporcionando a menudo aproximaciones a partir de datos oficiales. Vamos a ver un ejemplo.

Ejemplo de aplicación

Supongamos que un grupo de estudiantes va a realizar un trabajo sobre la cobertura sanitaria en España desde el año 1980 hasta la actualidad. Cuando se plantean recopilar datos sobre población se encuentran con el inconveniente de que los censos tienen periodicidad decenal, y como consecuencia, a partir de ellos únicamente se dispone de información cada 10 años. Por ejemplo, conociendo la población de hecho en España a 1 de marzo de 1981 y de 1991 que fue, según los censos del INE correspondientes a esos años, P₈₁ = 37746260, P₉₁ = 38999184, respectivamente, ¿cuál sería la población el 1 de marzo de 1987?

Tenemos dos puntos (81,P₈₁) y (91, P₉₁). Si hubiese una variación constante de la población, calcularíamos el polinomio de interpolación de grado 1: P_t = 125292,4t + 28850500; la función de interpolación anterior permite estimar la población en un año intermedio entre dos censos consecutivos, por tanto, en el año 87 se obtiene P₈₇ = 39750939.

Sin embargo, sabemos que la población no experimenta variaciones constantes, sino que depende de la población pasada. Un supuesto generalmente admitido es el de la tasa de crecimiento constante en el periodo intercensal. En este caso, tendríamos una función interpolatriz del tipo:

P_t = (1 + a)^tb

siendo a la tasa media anual de crecimiento acumulativo de la población. Como la función debe pasar por los dos puntos, se tendrá el siguiente sistema de ecuaciones:

P₀ = (1 + a)⁰b

P₁₀ = (1 + a)¹⁰b

a partir del cual se obtienen los parámetros de la función.

Siguiendo este planteamiento, tenemos b = 37746260; a = 0,00327.

P₈₇ = (1 + 0,00327)⁶37746260 = 38492922

Como hemos señalado, esta estimación de la población se basa en el supuesto de que su crecimiento en la década 1981-1991 ha seguido una tasa acumulativa anual constante, representada por el parámetro a, en este caso del 3,27 por mil.

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Otro ejemplo de interpolación utilizado en la estadística oficial está relacionado con el IPC, cuya estimación resulta de gran trascendencia, dadas sus repercusiones como indicador de la inflación.