Ejercicios de estadística (III)

Ahora, algunos ejercicios más para mejorar el conocimiento de lo explicado en este tema y en este otro.

Ejercicio 1

Los pesos y longitudes de una muestra de 10 truchas de una piscifactoría son las siguientes:

Peso en Kg	0,62	0,58	0,54	0,6	0,65	0,58	0,62	0,58
Longitud en mm	150	120	100	130	170	110	140	130

Tenemos que hallar el coeficiente de correlación lineal, utilizando un cambio de variable adecuado.

En la variable x = peso haremos el cambio x' = 100x - 54, y en la variable y = longitud, el cambio será y' = (y/10) - 10.

Construimos la tabla de valores:

xi	yi	x’i	y’i	x’i2	y’i2	x'iy'i
0,62	150	8	5	64	25	40
0,58	120	4	2	16	4	8
0,54	100	0	0	0	0	0
0,6	130	6	3	36	9	18
0,65	170	11	7	121	49	77
0,58	110	4	1	16	1	4
0,62	140	8	4	64	16	32
0,58	130	4	3	16	9	12
0,6	140	6	4	36	16	24
0,59	120	5	2	25	4	10
		56	31	394	133	225

• Media de x' : x' = 56/10 = 5,6
• Media de y' :y' = 31/10 = 3,1
• Varianza de x' : σ²_x =  = 394/10 - (5,6)² = 8,04
• Varianza de y' : σ²_y = 133/10 - (3,1)² = 3.69
• Covarianza: σ_xy = 225/10 - (5,6)·(3,1) = 5,14

El coeficiente de correlación no varía cuando hacemos un cambio de variable. Por ello:

r_xy = r_x'y' = 5,14/(√8,04)·(√3,69) = 0,944 (aprox.)

Ejercicio 2

La probabilidad que tiene Juan de ganar una partida de póker es 2/3. Si hoy va a jugar 4 partidas, tenemos que hallar la probabilidad de que gane:

1. dos partidas;
2. al menos una partida.

Si la probabilidad de ganar una partida es 2/3, la de que no gane es 1 - (2/3) = 1/3 y como se juegan 4 partidas, la distribución de probabilidad es una binomial B(4, 2/3).

1)

P(x = 2) = C_4,2·(2/3)²·(1/3)² = 0,098

2)

P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(x = 0) = 1 - C_4,0·(2/3)⁰·(1/3)⁴ = 0,988

Ejercicio 3

Las notas de un examen de selectividad se distribuyen normalmente con una media de 4,9 y una desviación típica de 2. Si se presentan 1000 alumnos, tenemos que calcular:

1. El número esperado de aprobados.
2. El porcentaje de alumnos con nota inferior a 4.

Las notas siguen una distribución N(4,9;2).

1)

Queremos calcular P(x ≥ 5). Para ello, calcularemos el valor tipificado de la variable correspondiente a 5:

z = (5 - 4,9)/2 = 0,05. Por tanto, hay que calcular P(z ≥ 0,05).

P(z ≥ 0,05) = 1 - P(z ≤ 0,05) = 1 - 0,5199 = 0,4801

El número esperado de aprobados será:

1000·0,4801 = 480 (aprox.)

2)

P(x ≤ 4 = P(z ≤ (4 - 4,9)/2) = P(z ≤ - 0,45) = 1 - P(z ≤ 0,45) = 1 - 0,6736 = 0,3264

El porcentaje de alumnos con nota inferior a 4 es de un 32,64% (aprox.)