Ejercicios de estadística (II)

Estos ejercicios tratan sobre lo explicado en este tema.

Ejercicio 1

Se han lanzado dos dados 300 veces y cada vez se ha anotado la suma de puntos. Los resultados fueron:

Suma	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
N.º de veces	9	20	21	27	50	48	40	32	28	15	10

Tenemos que hallar x y σ; y calcular qué porcentaje de resultados hay en los intervalos (x - σ, x + σ).

Resolución:

xi	ni	xini	xi2ni
2	9	18	36
3	20	60	180
4	21	84	336
5	27	135	675
6	50	300	1800
7	48	336	2352
8	40	320	2560
9	32	288	2592
10	28	280	2800
11	15	165	1815
12	10	120	1440
	300	2106	16586

Por lo tanto:

• x = 2106/300 = 7,02
• σ = √(16586/300 - (7,02)²) = 2,45 (aprox.)

Los intervalos son, por lo tanto:

• (x - σ, x + σ) = (4,57;9,47)
• (x - 2σ, x + 2σ) = (2,12;11,92)

1. Los resultados correspondientes al intervalo normal (x - σ, x + σ) son: 27 + 50 + 48 + 40 + 32 = 197, que representan un porcentaje de (197/300)*100 = 65,66%
2. En el intervalo (x - 2σ, x + 2σ) hay 300 - 19 = 281 resultados, que representan el 93,66% 

Ejercicio 2

Las calificaciones conseguidas por 28 candidatos a un puesto de trabajo fueron:

Intervalo	[20, 30)	[30, 40)	[40, 50)	[50, 60)	[60,70)	[70,80)	[80,90)
Frecuencia	1	3	1	4	9	8	2

Tenemos que calcular:

1. La mediana.
2. La moda.
3. La media.
4. La desviación típica.

Construimos la tabla de frecuencias y hacemos un cambio de variable para facilitar los cálculos. El cambio será y = (c - 55)/10, donde c es la marca de clase de cada intervalo; 55 la marca del intervalo central y 10 la amplitud fija de dichos intervalos.

Intervalo	ni	ci	Ni	Yi	niYi	yi2	niYi2
[20, 30)	1	25	1	-3	-3	9	9
[30, 40)	3	35	4	-2	-6	4	12
[40, 50)	1	45	5	-1	-1	1	1
[50, 60)	4	55	9	0	0	0	0
[60,70)	9	65	18	1	9	1	9
[70,80)	8	75	26	2	16	4	32
[80,90)	2	85	28	3	6	9	18
					21		81

1)

Como N/2 = 14, la frecuencia absoluta acumulada igual a 14 está N4 = 9 y N5 = 18. El intervalo mediano es [60, 70) y la mediana Me = 60 + h. Para calcular h, podemos dibujar los valores, y ver que por semejanza de triángulos obtenemos:

h/(70 - 60) = (14 - 9)/(18 - 9) => h = 50/9 = 5,5

2)

Para hallar la moda, tomamos la marca de clase del intervalo de mayor frecuencia:

Mo = 65

3)

Utilizando la variable auxiliar para el cálculo de la media, hay que tener en cuenta que la relación entre ambas medias es x = 10y + 55.

Como y = 21/28 = 0,75, entonces x = 10·(0,75) + 55 = 62,5

4)

También haremos uso de la variable auxiliar para el cálculo de la desviación típica. La relación entre las dos variables es S_x = |a|S_y.

S_y = √(71/28 - (3/4)2) = √(221/112) = √1,97

Por lo que S_x es:

S_x = 10·S_y = 10·√1,97 = 10·1,4047 = 14,047

NOTA: A veces, por razones de comodidad, se suele hacer uso de transformaciones lineales (y = ax + b)