Aproximación normal de la distribución binomial

Cuando en una distribución binomial el número de experimentos es muy elevado, el cálculo de probabilidades puede hacerse a través de la distribución normal. La distribución normal se acepta como aproximación de la binomial cuando n·p ≥ 10 y n·q ≥ 10.

Cuando n es muy elevado, pero no se cumplen las condiciones anteriores, el cálculo de probabilidades de la distribución binomial se hace a través de otra distribución llamada distribución de Poisson.

Ejemplo de aproximación normal de la distribución binomial

Tenemos que calcular la probabilidad de que, en 500 lanzamientos de una moneda, el número de caras no difiera de 250 en más de 10 (240 ≤ X ≤ 260).

Se trata de una distribución binomial en la que el número de lanzamientos es elevado.

n·p = 500·(1/2) = 250 y n·q = 500·(1/2), ambos mayores que 10.

Se puede aproximar, por tanto, a una distribución normal.

Para ello, se tratan los datos como si fueran continuos, y se calcula la media, n·p, y la desviación típica de la variable, √(npq).

Media: n·p = 250.
Desviación típica = √(500·0,5·0,5) = √125 = 11,18.
Se considera, por tanto, que la variable sigue una distribución normal N(250; 11,18).
Hay que calcular la probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 240 y 260: P(240 ≤ X ≤ 260).

La puntuación tipificada para 240 es (240 - 250)/11,18 = -0,89
La puntuación tipificada para 260 es (260 - 250)/11,18 = 0,89

La probabilidad pedida es:

P(-0,89 ≤ X ≤ 0,89) = P(Z ≤ 0,89) - P(Z ≤ -0,89) = P(Z ≤ 0,89) - [1 - P(Z ≤ 0,89)] = 0,8133 - (1 - 0,8133) = 0,6266

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