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Problemas sobre números combinatorios

Antes de pasar a otro tema, unos ejercicios para afianzar conceptos.

Ejercicio 1

Tenemos que calcular el número de subconjuntos  de un conjunto de 4 elementos.
  • Hay una sola forma de elegir un subconjunto de 0 elementos, C4,0 = 1.
  • Hay 4 formas de elegir un subconjunto de 1 elemento: C4,1 = 4.
  • Hay C4,2 formas de elegir un subconjunto de dos elementos, es decir, 6 formas diferentes.
  • Hay C4,3 formas de elegir un subconjunto de 3 elementos, o sea, 4 formas.
  • Hay C4,4 formas de elegir un subconjunto de 4 elementos, es decir, 1.
Por lo tanto, el número total de subconjuntos es:

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

Ejercicio 2

Tenemos que demostrar que un conjunto de n elementos tiene 2n subconjuntos distintos.

De k elementos, hay Cn,k subconjuntos.

Así, el número de subconjuntos es Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + .... + Cn,n.

Basta entonces demostrar que esta última suma vale 2n.

Ahora bien, 2n = (1 + 1)n, y desarrollando por el binomio de Newton:

2n = (1 + 1)n = Cn,01n + Cn,11n-1·1 +... + Cn,n-11·1n-1 + Cn,n1n = Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + .... + Cn,n-1 + Cn,n

Ejercicio 3

Tenemos que resolver la ecuación Vm,4 = 20Vm,2
  • Vm,4 = m(m - 1)(m - 2)(m - 3)
  • Vm,2 = m(m - 1)
Por lo tanto:

 m(m - 1)(m - 2)(m - 3) = 20·m(m - 1)

Simplificando, obtenemos:

(m - 2)(m - 3) = 20

Resolviendo la ecuación de segundo grado resultante, tenemos:

m2 - 5m + 6 = 20 => m2 - 5m - 14 = 0

Obtenemos m = 7 (la otra solución carece de sentido en este contexto).


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